Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Sưu tầm nhóm GV Toán Việt Nam

Mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {1; - 2;4} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Gọi \(G\left( {x;y;z} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {ME} \\\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 3\overrightarrow {IG} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 9M{G^2} = 9{\overrightarrow {MG} ^2}{\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + 2\left( {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\end{array}\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}9I{G^2} = 9{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + 2\left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}} \right) - {\left( {\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}} \right) - \left( {A{B^2} + B{C^2} + C{A^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}} \right) - 2\left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow 9I{G^2} - 9{R^2} - 18M{G^2} \Leftrightarrow I{G^2} + 2M{G^2} = 9\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} + 2\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {z - 4} \right)}^2}} \right] = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \dfrac{{11}}{9}\end{array}\)
\( \Rightarrow G\) thuộc mặt cầu tâm \({I_1}\left( {\dfrac{7}{3}; - \dfrac{2}{3};4} \right)\), bán kính \({R_1} = \dfrac{{\sqrt {11} }}{3}\).
Mà \(\overrightarrow {M{I_1}}  = \left( { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3};0} \right),\,\,\overrightarrow {ME}  = 3\overrightarrow {MG}  \Rightarrow \overrightarrow {MI}  = 3\overrightarrow {M{I_1}} \)
\( \Rightarrow I,\,\,E\) lần lượt là ảnh của \({I_1}\), \(G\) qua phép vị tự tâm \(M\), tỉ số \(k = 3\).
Vậy \(E\) thuộc mặt cầu tâm \(I\), bán kính \({R_2} = \sqrt {11} \).
Chọn D