Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} + \left( {2m - 2} \right)x + 16 - {m^2}\) ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} + 2m - 2\). TH1: \(2m - 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 1\). Khi đó dễ thấy \(g'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Ta có BBT:
Do đó để hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(g\left( 0 \right) = 16 - {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 4\). Kết hợp điều kiện \(m \ge 1,\,\,m \in \mathbb{R} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). TH2: \(2m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 1\). Khi đó \(g'\left( x \right) = 3{x^2} + 2m - 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = - \sqrt {\dfrac{{2 - 2m}}{3}} ;\,\,{x_2} = \sqrt {\dfrac{{2 - 2m}}{3}} \). Ta có BBT:
Do đó để hàm số \(\left| {g\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) \ge 0\\\sqrt {\dfrac{{2 - 2m}}{3}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 - {m^2} \ge 0\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\,\,\left( {ktm} \right)\). Vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D
