- Từ giả thiết \(\Delta SAB\) vuông cân có \(AB = a\sqrt 2 \), tính bán kính đáy và chiều cao của hình nón. - Xác định góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến. - Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(OH,\,\,SH\), áp dụng định lí Pytago tính \(BC\). - Tính \({S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}SH.BC\).Giải chi tiết: Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân \(SAB\) như hình vẽ, theo bài ra ta có\(AB = a\sqrt 2 \) nên hình nón có bán kính \(r = OA = OB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và chiều cao \(h = SO = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow OH \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OH\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\). \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SH \subset \left( {SBC} \right),\,\,SH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\OH \subset \left( {ABC} \right),\,\,OH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SH;OH} \right) = \angle SHO = {60^0}\). Xét tam giác vuông \(SOH\) ta có: \(OH = SO.\cot {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\), \(SH = \dfrac{{SO}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OHB\) ta có: \(HB = \sqrt {O{B^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\). \( \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Vậy \({S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}BC.SH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\). Chọn B.
