Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \({G_1},\,\,{G_2},\,\,{G_3},\,\,{G_4}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAB\), \(SBC\), \(SCD\), \(SDA\), \(E,\,\,F,\,\,G,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA\).
Ta có: \(MN\parallel {G_1}{G_2}\parallel EF\), \(NP\parallel {G_2}{G_3}\parallel FG\) \( \Rightarrow \left( {MNEF} \right)\parallel \left( {{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}} \right)\parallel \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(O' = SO \cap \left( {MNPQ} \right)\) \( \Rightarrow OO' \bot \left( {MNPQ} \right)\) \( \Rightarrow S'O' \bot \left( {MNPQ} \right)\).
Ta có: \(MN = 2{G_1}{G_2} = 2.\dfrac{2}{3}EF = \dfrac{4}{3}EF\), chứng minh tương tự ta có \(NP = \dfrac{4}{3}FG,\,\,PQ = \dfrac{4}{3}GH,\,\,QM = \dfrac{4}{3}HE\).
\( \Rightarrow MN = NP = PQ = QM\) \( \Rightarrow MNPQ\) là hình thoi, lại có \(EF \bot EG \Rightarrow MN \bot NP\).
\( \Rightarrow MNPQ\) là hình vuông.
Do \(S.ABCD\) là chóp đều nên dễ dàng chứng minh được \(OM = ON = OP = OQ\).
\( \Rightarrow O.MNPQ\) là chóp đều, lại có \(OO' \bot \left( {MNPQ} \right)\) với \(O' \in \left( {MNPQ} \right)\), do đó \(MP \cap NQ = O'\).
Ta có: \(EF = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow MN = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}\) \( \Rightarrow MNPQ\) là hình vuông cạnh \(\dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}\).
\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = {\left( {\dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{8{a^2}}}{9}\).
Ta có: \(OB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\) \( \Rightarrow S'O = SO = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).
Gọi \(O'' = SO \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}} \right)\) ta có: \(\dfrac{{OO''}}{{OO'}} = \dfrac{{O{G_1}}}{{OM}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow OO'' = \dfrac{1}{2}OO'\).
Lại có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{SO''}}{{SO}} = \dfrac{{S{G_1}}}{{SE}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow SO'' = \dfrac{2}{3}SO\\ \Rightarrow OO'' = \dfrac{1}{3}SO\\ \Rightarrow OO' = \dfrac{2}{3}SO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt {10} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{3}\end{array}\)
\( \Rightarrow SO' = SO + OO' = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2} + \dfrac{{a\sqrt {10} }}{3} = \dfrac{{5a\sqrt {10} }}{6}\).
Vậy \({V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{1}{3}SO'.{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{5a\sqrt {10} }}{6}.\dfrac{{8{a^2}}}{9} = \dfrac{{20\sqrt {10} {a^3}}}{{81}}\).
Chọn C.
