- Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính \(AB\), từ đó tính \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC\) và tính \({V_{S.ABC}}\). - Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính các tỉ số \(\frac{{SM}}{{SB}},\,\,\frac{{SN}}{{SC}}\). - Sử dụng tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}}\), từ đó tính \({V_{S.AMN}}\). - Tính \({V_{AMNCB}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMN}}\).Giải chi tiết: Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\begin{array}{l}\cos \angle BAC = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\\ \Rightarrow \cos {120^0} = \frac{{A{B^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2aAB}}\\ \Leftrightarrow - aAB = A{B^2} - 2{a^2}\\ \Leftrightarrow A{B^2} + aAB - 2{a^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {AB - a} \right)\left( {AB + 2a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow AB = a\end{array}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = \frac{1}{2}.a.a.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). \( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.2a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{2}\). Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ta có: \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{{12{a^2}}}{{13{a^2}}} = \frac{{12}}{{13}}\), \(\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{C^2}}} = \frac{{12{a^2}}}{{13{a^2}}} = \frac{{12}}{{13}}\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{12}}{{13}}.\frac{{12}}{{13}} = \frac{{144}}{{169}}\\ \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{{144}}{{169}}{V_{S.ABC}} = \frac{{72}}{{169}}{a^3}\end{array}\) Vậy \({V_{AMNCB}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMN}} = \frac{{{a^3}}}{2} - \frac{{72{a^3}}}{{169}} = \frac{{25}}{{338}}{a^3}\). Chọn B
