Lời giải:

Để cho gọn, đặt $x^2=t(t\geq 0)$

PT trở thành:

$(m-2)t^2-2(m+1)t+(2m-1)=0(*)$

a) Để PT đã cho vô nghiệm thì thì $\Delta'$ âm hoặc $(*)$ có nghiệm âm.

=========-

$\Delta'=(m+1)^2-(m-2)(2m-1)<0$

$\Leftrightarrow -m^2+7m-1<0$

$\Leftrightarrow m< \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m> \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

PT $(*)$ có nghiệm âm khi mà:

$\left\{\begin{matrix} \Delta'=-m^2+7m-1\geq 0\\ t_1+t_2=\frac{2(m+1)}{m-2}<0\\ t_1t_2=\frac{2m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}>m\geq \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

Vậy để PT vô nghiệm thì $\frac{1}{2}>m\geq \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ , $m< \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m> \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

b) Để PT đã cho có nghiệm duy nhất thì (*) có nghiệm duy nhất. Với nghiệm $(*)$ thu được duy nhất là $t=k\geq 0$, nếu $keq 0\Rightarrow$ PT đã cho có 2 nghiệm $\pm \sqrt{k}$ (không thỏa mãn).

Do đó nếu PT đã cho có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó phải là 0

$\Rightarrow (m-2).0^4-2(m+1).0^2+2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

Thay vào thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy $m=\frac{1}{2}$

c) Để PT đã cho có hai nghiệm thì $(*)$ có duy nhất một nghiệm dương, nghiệm còn lại âm. Khi đó:

$\Delta'=-m^2+7m-1>0$ (1)

Và: $t_1t_2<0\Leftrightarrow \frac{2m-1}{m-2}<0\Leftrightarrow \frac{1}{2}< m< 2$ (2)

Kết hợp (1); (2) suy ra $\frac{1}{2}< m< 2$

d)

PT ban đầu có ba nghiệm khi mà $(*)$ có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm còn lại là dương.

$(*)$ có nghiệm 0 thì PT ban đầu cũng có nghiệm 0. Theo phần b ta suy ra $m=\frac{1}{2}$. Thử lại ta thấy với $m=\frac{1}{2}$ thì PT ban đầu có nghiệm 0 duy nhất. Do đó không tồn tại $m$ để PT có ba nghiệm.

e)

Để PT ban đầu có 4 nghiệm thì $(*)$ có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi mà:

$\Delta'=-m^2+7m-1>0$ (1)và: $\left\{\begin{matrix} t_1+t_2=\frac{2(m+1)}{m-2}>0\\ t_1t_2=\frac{2m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m>2$ (2)

Từ (1); (2) suy ra $2< m< \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$