Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x-{{m}^{3}}+m$ có hai điểm cực trị${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7$. A. $m=0$ B. m = ±92 C. m =±12 D. $m=\pm 2$
Đáp án đúng: D Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3({{m}^{2}}-1)=3\,[{{x}^{2}}-2mx+({{m}^{2}}-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ Do$\Delta '={{m}^{2}}-{{m}^{2}}+1=1>0,\forall m\in \mathbb{R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị${{x}_{1}},{{x}_{2}}$. Theo định lí Viet, ta có:$\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\\{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-1\end{array} \right.$ Ta có$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-3({{m}^{2}}-1)=7\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2$. Chọn đáp án D.