Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

- Tham số hóa tọa độ \(B \in {d_1},\,\,C \in {d_2}\) lần lượt theo 2 ẩn \(b,\,\,c\).- Giải hệ \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \) tìm \(k,\,\,b,\,\,c\).- Suy ra tọa độ các điểm \(B,\,\,C\) và tính \(BC + \sqrt {{{\left( {{x_C} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_C} - {y_B}} \right)}^2} + {{\left( {{z_C} - {z_B}} \right)}^2}} \).Giải chi tiết:Vì \(\left\{ \begin{array}{l}B \in {d_1} \Rightarrow B\left( {1 + b;\,\, - 1 - b;\,\,2b} \right)\\C \in {d_2} \Rightarrow C\left( {c;\,\,1 + 2c;\,\,c} \right)\end{array} \right.\).Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {b;\,\, - 1 - b;\,\,2b - 1} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {c - 1;\,\,1 + 2c;\,\,c - 1} \right)\).Vì \(A,\,\,B,\,\,C \in d\) nên chúng thẳng hàng, do đó tồn tại hằng số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \).\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = k\left( {c - 1} \right)\\ - 1 - b = k\left( {1 + 2c} \right)\\2b - 1 = k\left( {c - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = k\left( {c - 1} \right)\\ - 1 - b = k\left( {1 + 2c} \right)\\2b - 1 = b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\1 = k\left( {c - 1} \right)\\ - 2 = k\left( {1 + 2c} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\kc - k = 1\\k + 2kc =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\kc = k + 1\\k + 2k + 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\k =  - \frac{4}{3}\\c = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow B\left( {2; - 2;2} \right);\,\,C\left( {\frac{1}{4};\frac{3}{2};\frac{1}{4}} \right)\).Vậy \(BC = \sqrt {{{\left( { - \frac{7}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{7}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{7\sqrt 6 }}{4}\).Chọn A