Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì VTPT của 2 mặt phẳng đó cũng vuông góc với nhau.
Sử dụng các dữ kiện bài toán, lập hệ phương trình, tìm các ẩn \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\).
Giải chi tiết:Theo giả thiết ta có :
\(\begin{array}{l}\left( P \right):\,\,x - y - z + 1 = 0 \Rightarrow {\rm{VTPT:}}\,\,\,\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0\,\, \Rightarrow {\rm{VTPT:}}\,\,\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( {a;b;c} \right)\\\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow a - b - c = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {3;\, - 2;\, - 2} \right)\) nên \(3a - 2b - 2c + d = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Mặt phẳng \(\left( Q \right):ax + by + cz + d = 0\) cắt tia \(Oy\) tại \(M\left( {0;\,\dfrac{{ - d}}{b};0} \right)\), cắt tia \(Oz\) tại điểm \(N\left( {0;0;\,\dfrac{{ - d}}{c}} \right)\)
Do \(OM = ON\) nên \(\left| {\dfrac{{ - d}}{b}} \right| = \left| { - \dfrac{d}{c}} \right| \Leftrightarrow \left| b \right| = \left| c \right|\,\,\,\,\left( {d
e 0} \right)\)
TH1:\(b = - c\), từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\3a + d = 2b + 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\3a + d = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = d = 0\) (Loại).
TH2: \(b = c\), từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b + c\\3a + d = 2b + 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\3a + d = 4b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\d = - 2b\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{d}{a} = - 1.\)
Vậy \(\dfrac{d}{a} = - 1.\)
Chọn D.
