HỆ THỐNG BÀI TẬP KINH ĐIỂN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

(PHẦN 1)

Bài 1. Khảo sát chuyển động của một vành tròn trên mặt phẳng

Một vành tròn mảnh bán kính R khối lượng M phân bố đều. Trên vành ở mặt trong có gắn một vật nhỏ khối lượng m (hình vẽ). Kéo cho vành lăn không trượt trên mặt ngang sao cho tâm của vành có vận tốc v0. Hỏi v0 phải thoả mãn điều kiện gì để vành không nảy lên? Lực tác dụng lên vành để kéo vành chuyển động với vận tốc không đổi (như giả thiết) không có thành phần thẳng đứng?

                         

Bài giải         

           

+ Khi m ở vị trí bất kì, lực tác dụng vào m có P và F lực mà vành tác dụng vào m. Có thể phân tích lực F thành hai phần: \[\overrightarrow{N}\] có phương trùng với bán kính vành tròn, chiều hướng tâm, \[\overrightarrow{Q}\] có phương tiếp tuyến với vòng (hình vẽ).

Định luật II:                m\[\overrightarrow{a}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}+\overrightarrow{N}\]                         (1)

         

+Thành phần lực F tác dụng vào m theo phương thẳng đứng: Fy = Qsina - N cosa (3) . Từ (2) và (3) ta có:

\[{{F}_{y}}=P{{\sin }^{2}}\alpha -\left( \frac{mv_{0}^{2}}{R}-P\cos \alpha  \right)-\cos \alpha =P-\frac{mv_{0}^{2}}{R}\cos \alpha \].

(Fy)max khi a = 0 vật ở vị trí cao nhất, Fy  hướng xuống với (Fy)max = P - \[\frac{mv_{0}^{2}}{R}\] .

Theo định luật III lực tác dụng từ m vào vành M có phương ngược với Fy, (Fy’ hướng xuống):

(Fy)’max =  - (Fy)max = \[\frac{mv_{0}^{2}}{R}\]-P . Vành không nẩy lên khi: \[{{(F_{y}^{'})}_{\max }}\le Mg\Leftrightarrow \frac{mv_{0}^{2}}{R}-P\le Mg\Rightarrow v_{0}^{{}}\le \sqrt{\left( 1+\frac{m}{M} \right)gR}\]

Bài 2. Khảo sát chuyển động của khối trụ trong tương tác với hai mặt phẳng

Một hình trụ có khối M được bó trí thành cơ hệ như hình vẽ, hệ số ma sát của hình trụ với mặt phẳng ngang là m1, với mặt phẳng ngang là m­2­. mặt phẳng ngang chuyển động đều về phía trái, cần phải tác động vào mặt phẳng ngang một lực F nhỏ nhất là bao nhiêu để xảy ra điều trên.

Lời giải:

Hình trụ có hai khả năng quay hay không quay.

Giả sử trụ quay :

Khi mặt phẳng ngang chuyển động đều thì trụ quay đều và gia tốc của khối trụ bằng không.

 

Ta có: + Tổng các Moment lực đối với trục quay qua khối tâm bằng 0:

F1 = F2 = F

+ Theo phương ngang:

Nsina - F2 cosa  -F1 = 0                                  (1)

+ Theo phương thẳng đứng:

1 – Mg – N2cosa - F2sin a = 0                     (2)

Nhận xét  F, N1, N2 phụ thuộc vào m1, m2, a và có hai trường hợp có thể xảy ra:

  • Trường hợp 1.

m1 N1 > m2 N2, hình trụ quay, F = m22

Khi dó từ (3): \[{{N}_{2}}\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }={{\mu }_{2}}{{N}_{2}}\]

1.a/ \[\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\]> m2  => N2 = 0, F = 0 với điều kiện m1N1 > m2N2 với mọi giá trị của m1, m2.

1.b/ \[\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\]< m2 , khi đó hình trụ bị kẹt, điều kiện  m1N1 > m2N2 xảy ra với m1 > m2.

  •  Trường hợp 2.

m1 N1 < m2 N2, hình trụ không quay được  F = m11.  

Từ (3) suy ra:\[{{N}_{2}}\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }={{\mu }_{1}}{{N}_{1}}\]

m1(Mg + N2 ) = N2\[\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\].  Tìm ra N2 = \[\frac{{{\mu }_{1}}Mg}{\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }-{{\mu }_{1}}}\]

2.a/ \[{{\mu }_{1}}\ge \frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\], khi đó trụ bị kẹt, điều kiện m1N1 > m2N2  khi m1 < m2.

2.b/ \[{{\mu }_{1}}<\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\], khi đó F =  m1N1 = m1 ( N2 + Mg). Hay: F = \[\frac{{{\mu }_{1}}Mg}{1-{{\mu }_{1}}\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}\]

Điều kiện m1N1 < m2N2 xảy ra khi

\[{{\mu }_{2}}>\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\]

m2N2 > m1 ( N2 + Mg)

Đánh giá:

Biểu diễn kết quả qua đồ thị, đồ thị biểu diễn mặt phẳng m1, m2 chia làm 3 miền

- Miền 1: ứng với trường hợp (1.a)

- Miền 2: ứng với trường hợp (1.b ) và (2.a) hình trụ bị kẹt nên F = \[\infty \] 

- Miền 3: ứng với trường hợp (2.b), 

F = \[\frac{{{\mu }_{1}}Mg}{1-{{\mu }_{1}}\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}\]

Bài 3. Vật rắn có liên kết ròng rọc

Có hai ròng rọc là hai đĩa tròn gắn đồng trục . Ròng rọc lớn có khối lượng m = 200g, bán kính R1 = 10cm. Ròng rọc nhỏ có khối lượng m’ = 100g, bán kính R2 = 5cm. Trên rãnh hai ròng rọc có hai dây chỉ quấn ngược chiều nhau để khi m1 đi xuống m2 đi lên hoặc ngược lại. Đầu dây  của ròng rọc lớn mang khối lượng m1 = 300g, đầu dây của ròng rọc nhỏ mang khối lượng m2 = 250g. Thả cho hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên Lấy g = 10m/s2.

a. Tính gia tốc của các vật m1 và m2.

b. Tính lực căng của mỗi dây treo.

Lời giải

P1 = m1g > P2 = m2g, nên m1 đi xuống, m2 đi lên. Phương trình chuyển động của m1 và m2:

\[\overrightarrow{{{P}_{1}}}+\overrightarrow{{{T}_{1}}}={{m}_{1}}\overrightarrow{{{a}_{1}}};\overrightarrow{{{P}_{2}}}+\overrightarrow{{{T}_{2}}}={{m}_{2}}\overrightarrow{{{a}_{2}}}\] (1)

Chiếu (1) theo chiều (+) là chiều chuyển động của m1 và m2:

Với ròng rọc T1R1 - T2R2 = Ig             (3).

I = \[\frac{1}{2}mR_{1}^{2}+\frac{1}{2}mR_{2}^{2};\gamma =\frac{{{a}_{1}}}{{{R}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{R}_{2}}};{{a}_{1}}=2{{a}_{2}}\].

+ Nhân (2a) với R1, (2b) với R2, rồi cộng hai vế (2) và (3):

Þ m1gR1 - m2gR2 = m1a1R1 + m2a2R2 + Ig = a2\[\left( 2{{m}_{1}}{{R}_{1}}+{{m}_{2}}{{R}_{2}}+\frac{I}{{{R}_{2}}} \right)\Rightarrow {{a}_{2}}=\frac{({{m}_{1}}{{R}_{1}}+{{m}_{2}}{{R}_{2}})g}{2{{m}_{1}}{{R}_{1}}+{{m}_{2}}{{R}_{2}}+\frac{I}{{{R}_{2}}}}\] thay số ta được: a2 = 1,842 (m/s2);                a1 = 2a2 = 3,68 (m/s2)

+ Thay a1, a2 vào (2) ta được

T1 = 1,986 (N); T2 = 2,961 (N)

                                                                                  

Bài viết gợi ý: