Bài tập về chuyển động của vật rắn ôn thi học sinh giỏi vật lý

HỆ THỐNG BÀI TẬP KINH ĐIỂN VỀ CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

(PHẦN 1)

Bài 1. Khảo sát chuyển động của một vành tròn trên mặt phẳng

Một vành tròn mảnh bán kính R khối lượng M phân bố đều. Trên vành ở mặt trong có gắn một vật nhỏ khối lượng m (hình vẽ). Kéo cho vành lăn không trượt trên mặt ngang sao cho tâm của vành có vận tốc v₀. Hỏi v₀ phải thoả mãn điều kiện gì để vành không nảy lên? Lực tác dụng lên vành để kéo vành chuyển động với vận tốc không đổi (như giả thiết) không có thành phần thẳng đứng?

Bài giải

+ Khi m ở vị trí bất kì, lực tác dụng vào m có P và F lực mà vành tác dụng vào m. Có thể phân tích lực F thành hai phần: \[\overrightarrow{N}\] có phương trùng với bán kính vành tròn, chiều hướng tâm, \[\overrightarrow{Q}\] có phương tiếp tuyến với vòng (hình vẽ).

Định luật II: m\[\overrightarrow{a}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}+\overrightarrow{N}\] (1)

+Thành phần lực F tác dụng vào m theo phương thẳng đứng: F_y= Qsina - N cosa (3) . Từ (2) và (3) ta có:

\[{{F}_{y}}=P{{\sin }^{2}}\alpha -\left( \frac{mv_{0}^{2}}{R}-P\cos \alpha \right)-\cos \alpha =P-\frac{mv_{0}^{2}}{R}\cos \alpha \].

(F_y)_max khi a = 0 vật ở vị trí cao nhất, F_y hướng xuống với (F_y)_max = P - \[\frac{mv_{0}^{2}}{R}\] .

Theo định luật III lực tác dụng từ m vào vành M có phương ngược với F_y, (F_y’ hướng xuống):

(F_y)’_max = - (F_y)_max = \[\frac{mv_{0}^{2}}{R}\]-P . Vành không nẩy lên khi: \[{{(F_{y}^{'})}_{\max }}\le Mg\Leftrightarrow \frac{mv_{0}^{2}}{R}-P\le Mg\Rightarrow v_{0}^{{}}\le \sqrt{\left( 1+\frac{m}{M} \right)gR}\]

Bài 2. Khảo sát chuyển động của khối trụ trong tương tác với hai mặt phẳng

Một hình trụ có khối M được bó trí thành cơ hệ như hình vẽ, hệ số ma sát của hình trụ với mặt phẳng ngang là m₁, với mặt phẳng ngang là m_2.mặt phẳng ngang chuyển động đều về phía trái, cần phải tác động vào mặt phẳng ngang một lực F nhỏ nhất là bao nhiêu để xảy ra điều trên.

Lời giải:

Hình trụ có hai khả năng quay hay không quay.

Giả sử trụ quay :

Khi mặt phẳng ngang chuyển động đều thì trụ quay đều và gia tốc của khối trụ bằng không.

Ta có: + Tổng các Moment lực đối với trục quay qua khối tâm bằng 0:

F₁ = F₂ = F

+ Theo phương ngang:

Nsina - F₂ cosa -F₁ = 0 (1)

+ Theo phương thẳng đứng:

N₁ – Mg – N₂cosa - F₂sin a = 0 (2)

Nhận xét F, N₁, N₂ phụ thuộc vào m₁, m₂, a và có hai trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp 1.

m₁ N₁ > m₂ N₂, hình trụ quay, F = m₂N₂

Khi dó từ (3): \[{{N}_{2}}\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }={{\mu }_{2}}{{N}_{2}}\]

1.a/ \[\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\]> m₂ => N₂ = 0, F = 0 với điều kiện m₁N₁ > m₂N₂ với mọi giá trị của m₁, m₂.

1.b/ \[\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\]< m₂ , khi đó hình trụ bị kẹt, điều kiện m₁N₁ > m₂N₂ xảy ra với m₁> m₂.

Trường hợp 2.

m₁ N₁ < m₂ N₂, hình trụ không quay được F = m₁N₁.

Từ (3) suy ra:\[{{N}_{2}}\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }={{\mu }_{1}}{{N}_{1}}\]

m₁(Mg + N₂ ) = N_{2\[\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\]}. Tìm ra N₂ = \[\frac{{{\mu }_{1}}Mg}{\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }-{{\mu }_{1}}}\]

2.a/ \[{{\mu }_{1}}\ge \frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\], khi đó trụ bị kẹt, điều kiện m₁N₁ > m₂N₂ khi m₁ < m₂.

2.b/ \[{{\mu }_{1}}<\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\], khi đó F = m₁N₁ = m₁ ( N₂ + Mg). Hay: F = \[\frac{{{\mu }_{1}}Mg}{1-{{\mu }_{1}}\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}\]

Điều kiện m₁N₁ < m₂N₂ xảy ra khi

\[{{\mu }_{2}}>\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\]

m₂N₂ > m₁ ( N₂ + Mg)

Đánh giá:

Biểu diễn kết quả qua đồ thị, đồ thị biểu diễn mặt phẳng m₁, m₂ chia làm 3 miền

- Miền 1: ứng với trường hợp (1.a)

- Miền 2: ứng với trường hợp (1.b ) và (2.a) hình trụ bị kẹt nên F = \[\infty \]

- Miền 3: ứng với trường hợp (2.b),

F = \[\frac{{{\mu }_{1}}Mg}{1-{{\mu }_{1}}\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}\]

Bài 3. Vật rắn có liên kết ròng rọc

Có hai ròng rọc là hai đĩa tròn gắn đồng trục . Ròng rọc lớn có khối lượng m = 200g, bán kính R₁ = 10cm. Ròng rọc nhỏ có khối lượng m’ = 100g, bán kính R₂ = 5cm. Trên rãnh hai ròng rọc có hai dây chỉ quấn ngược chiều nhau để khi m₁ đi xuống m₂ đi lên hoặc ngược lại. Đầu dây của ròng rọc lớn mang khối lượng m₁ = 300g, đầu dây của ròng rọc nhỏ mang khối lượng m₂ = 250g. Thả cho hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên Lấy g = 10m/s².

a. Tính gia tốc của các vật m₁ và m_2.

b. Tính lực căng của mỗi dây treo.

Lời giải

P₁ = m₁g > P₂ = m₂g, nên m₁ đi xuống, m₂ đi lên. Phương trình chuyển động của m₁ và m₂:

\[\overrightarrow{{{P}_{1}}}+\overrightarrow{{{T}_{1}}}={{m}_{1}}\overrightarrow{{{a}_{1}}};\overrightarrow{{{P}_{2}}}+\overrightarrow{{{T}_{2}}}={{m}_{2}}\overrightarrow{{{a}_{2}}}\] (1)

Chiếu (1) theo chiều (+) là chiều chuyển động của m₁ và m₂:

Với ròng rọc T₁R₁ - T₂R₂ = Ig (3).

I = \[\frac{1}{2}mR_{1}^{2}+\frac{1}{2}mR_{2}^{2};\gamma =\frac{{{a}_{1}}}{{{R}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{R}_{2}}};{{a}_{1}}=2{{a}_{2}}\].

+ Nhân (2a) với R₁, (2b) với R₂, rồi cộng hai vế (2) và (3):

Þ m₁gR₁ - m₂gR₂ = m₁a₁R₁ + m₂a₂R₂ + Ig = a_{2\[\left( 2{{m}_{1}}{{R}_{1}}+{{m}_{2}}{{R}_{2}}+\frac{I}{{{R}_{2}}} \right)\Rightarrow {{a}_{2}}=\frac{({{m}_{1}}{{R}_{1}}+{{m}_{2}}{{R}_{2}})g}{2{{m}_{1}}{{R}_{1}}+{{m}_{2}}{{R}_{2}}+\frac{I}{{{R}_{2}}}}\]}thay số ta được: a₂ = 1,842 (m/s²); a₁ = 2a₂ = 3,68 (m/s²)