Các phép toán trong tập

Các phép toán trong N

I . Lí thuyết :

1 . Tính chất giao hoán của phép cộng và phép nhân:

a + b = b + a

a.b = b.a

Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi

Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi

2 . Tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân :

( a + b ) + c = a + ( b + c )

(a.b).c = a.(b.c)

Muốn cộng một tổng với một số hạng thứ ba , ta có thể cộng số hạng thứ nhất với tổng số hạng thứ hai với số hạng thứ ba

Muốn nhân một tích với một thừa số thứ ba, ta có thể nhân thừa số thứ nhất với tích thừa số thứ hai và thừa số thứ ba.

3 . Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng :

a.(b+c) = a.b + a.c

Muốn nhân một số với một tổng ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại.

4 . Phép trừ và phép chia :

a, Điều kiện để thực hiện phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ .

b, Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b ∈ N , b ≠ 0 ) là có số tự nhiện p sao cho : a = b.p

c, Trong phép chia có dư :

số bị chia = số chia . thương + số dư ( a = b.p + r ) số dư bao giờ cũng khác không và nhỏ hơn số chia.

II . Bài tập ví dụ :

Ví dụ 1 : Tính tổng các số tự nhiên từ 1 đến 999 ;

Giải

Ta có : 1 + 2 + 3 + ...... + 997 + 998 + 999

= ( 1 + 999 ) + ( 2 + 998 ) + ( 3 + 997 )+ ........ + ( 499 + 501 ) + 500

= 1000. 499 + 500

= 499500

Ví dụ 2 : Tính nhanh một cách hợp lí :

a , 997 + 83.

b , 37 . 38 + 62 . 37 .

c , 43.11 ; 67.101 ; 423.1001.

d , 67.99 ; 998.33.

Giải

a , 997 + 83 = 997 + 3 + 80 = (997+3) +80 = 1000 + 80 = 1080.

b , 37 . 38 + 62 . 37 = 37. ( 38+62) = 37 . 100 = 3700.

c , 43 . 11 = 43 . ( 10 + 1 ) = 43.10 + 43.1 = 430 + 43 = 473;

67. 101 = 67 . ( 100 + 1 ) = 67.100 + 67.1 = 6700 + 67 = 6767;

423. 1001 = 423 . ( 1000 + 1 ) = 423 . 1000 + 423.1 = 423423.

d , 67 . 99 = 67 . ( 100 – 1 ) = 67 . 100 – 67.1 = 6700 – 67 = 6633;

998 . 33 = 33 . ( 1000 – 2 ) = 33 . 1000 – 33 . 2 = 33000 – 66 = 32934.

Ví dụ 3 : So sánh:

a) 2011.2013 và 2012.2012.

Giải:

Ta có: 2011.(2012 + 1) = 2011.2012 + 2011

2012.(2011 + 1) = 2012.2011 + 2012

Vì 2011 < 2012 => 2011.2013 < 2012.2012.

b) 2002.2002 và 2000.2004.

Giải:

Ta có: 2000.2004 = 2000.(2002 + 2) = 2000.2002 + 2.2000

2002.2002 = 2002.(2000 + 2) = 2002.2000 + 2.2002

Vì 2.2000 < 2.2002 => 2000.2004 < 2002.2002.

Ví dụ 4 : Tính nhanh :

a , 39.(250 + 87) + 64.(240 + 97)

Giải

Ta có : 39.(250 + 87) + 64.(240 + 97) = 39.337 + 64.337 = 337.(39 + 64) = 337.103.

b , 28.(231 + 69) + 72.(231 + 69)

Giải

Ta có : 28.(231 + 69) + 72.(231 + 69) = 28.300 + 72.300 = 300.(28 + 72) = 300.100 = 30000.

c , 79.101

Giải

Ta có : 79.101 = 79.(100 + 1) = 79.100 + 79.1 = 7900 + 79 = 7979.

d , (1200 + 60) : 12

Giải

Ta có : (1200 + 60) : 12 = 1200 : 12 + 60 : 12 = 100 + 5 = 105.

e , 35.13 + 35.17 + 65.75 – 65.45

Giải

Ta có : 35.13 + 35.17 + 65.75 – 65.45 = (35.13 + 35.17) + (65.75 – 65.45) = 35.(13 + 17) + 65.(75 – 45) = 35.30 + 65.30 = 30.(35 + 65) = 30.100 = 3000.

f , 1 + 2 + 3 + … + 2015

Giải

Ta có : 1 + 2 + 3 + … + 2015 = (1 + 2015).2015 : 2 = 1008.2015 = 2031120.

g , 6! – 4!

Giải

Ta có : 6! – 4! = 1.2.3.4.5.6 – 1.2.3.4 = 1.2.3.4.(5.6 – 1) = 24.29 = 696

h , 99 – 97 + 95 – 93 + 91 – 89 + … + 7 – 5 + 3 – 1

Giải

Ta có : 99 – 97 + 95 – 93 + 91 – 89 + … + 7 – 5 + 3 – 1 = (99 – 97) + (95 – 93) + (91 – 89) +…+ (7 – 5) + (3 – 1) = 2 + 2 + 2 + … + 2 + 2 (Có 25 số hạng 2) = 25.2 = 50.

III . Bài tập tự luyện :

Bài 1 : Tính các tổng sau.

a) 1 + 2 + 3 + 4 +....+ n .

b) 2 + 4 + 6 + 8 +...+ 2.n .

c) 1 + 3 + 5 + 7+...+ (2.n +1) .

d) 1 + 4 + 7 + 10 +..+ 2005 .

e) 2 + 5 + 8 +...+ 2006 .

f) 1 + 5 + 9 +...+ 2001.

Bài 2 : Tính nhanh tổng sau. A = 1 + 2 + 4 + 8 +16 +....+ 8192

Bài 3 : a) Tính tổng các số lẽ có hai chữ số

b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.

Bài 4 : a) Tổng 1 + 2 + 3+ 4 +...+ n có bao nhiêu số hạng để kết quả bằng 190.