CỰC TRỊ HÀM SỐ
A.Lý thuyết
1. Định
nghĩa: Cho hàm số y
= f(x) xác định trên tập D và ${{x}_{0}}\in
D$
- Nếu tồn tại
một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho $(a;b)\subset D$ và f(x) <
f(x0) với mọi $x\in (a;b)/\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{
}\!\!\}\!\!\text{ }$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0 và
f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
- Nếu tồn tại
một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho $(a;b)\subset D$ và f(x) >
f(x0) với mọi $x\in (a;b)/\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{
}\!\!\}\!\!\text{ }$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0 và
f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
2. Điều
kiện cần để có cực trị
Giả sử hàm số
f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0
thì f’(x0) = 0
3. Điều
kiện đủ để hàm số có cực trị
Giả sử hàm số
y=f(x) liên tục trên K
- Nếu f’(x)
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0 thì x0 là một điểm
cực đại của hàm số f(x).
- Nếu f’(x)
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0 thì x0 là một điểm
cực tiểu của hàm số f(x).
4. Quy tắc
tìm cực trị của hàm số
* Quy tắc 1:
Bước 1: TÌm
tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính
f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
Bước 3: Lập
bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng
biến thiên suy ra các điểm cực trị.
*Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm
tập xác định của hàm số
Bước 2: Tính
f’(x). Giải phương trình f’(x) và kí hiệu xi là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính
f’’(x) và f’’(xi).
Bước 4: Dựa
vào dấu của f’’(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
5. Kỹ
năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d(a\ne
0)$
Ta có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
-Đồ thị hàm
số của hai điểm cực trị khi y’=0 có hai nghiệm phân biệt
$\leftrightarrow
{{b}^{2}}-3ac>0$ . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là:
$y=(\frac{2c}{3}-\frac{2{{b}^{2}}}{9a})x+d-\frac{bc}{9a}$
-CASIO tìm
ra đường thẳng qua hai điểm cực trị:
\[a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d-(3a{{x}^{2}}+2bx+c)(\frac{x}{3}+\frac{b}{9a})\]
cho x=i $\to Ai+B\to y=Ax+B$
Hoặc sử dụng
công thức $y-\frac{y'.y''}{18a}$
-Khoảng cách
giữa hai điểm cực trị hàm bậc 3 là:
$AB=\sqrt{\frac{4e+16{{e}^{3}}}{a}}$
với $e=\frac{{{b}^{2}}-3ac}{9a}$
6. Kỹ
năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương
Cho hàm số: $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c(a\ne
0)$ có đồ thị là (C)
(C) có ba điểm
cực trị khi y’=0 có 3 nghiệm phân biệt khi a,b trái dấu
Giả sử
A(0;c) là điểm cực trị thuộc trục tung
Khi đó $AB=AC=\sqrt{\frac{{{b}^{4}}}{16{{a}^{2}}}-\frac{b}{2a}},BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$
*Các kết quả
cần nắm
+ ∆ABC vuông cân $\Leftrightarrow
\frac{{{b}^{3}}}{8a}+1=0$
+ ∆ABC đều $\Leftrightarrow
\frac{{{b}^{3}}}{8a}+3=0$
+ $\angle BAC=\alpha $ , ta có
+ ${{S}_{\vartriangle
ABC}}=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|}\sqrt{-\frac{b}{2a}}$
+ Bán kính
đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là $R=\frac{{{b}^{3}}-8a}{8\left|
a \right|b}$
+ Bán kính
đường tròn nội tiếp ∆ABC là $r=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a
\right|+\sqrt{16{{a}^{2}}-2a{{b}^{3}}}}$
+ Phương
trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left(
\frac{2}{b}-\frac{\vartriangle }{4a}+c \right)y+c\left(
\frac{2}{b}-\frac{\vartriangle }{4a} \right)=0$
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-4x+1}{x+1}.$
Hàm số có 2 điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ .Tích ${{x}_{1}}{{x}_{2}}$ bằng
A.1
B.-5
C.-1
D.-4
HD: Ta có $y'=\frac{(2x-4)(x+1)-{{x}^{2}}+4x-1}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-5}{{{(x+1)}^{2}}}$
Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$
là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-2x-5=0$ khi đó theo Vi-ét ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-5\to
B$
Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3$
là
A.1
B.2
C.3
D.4
HD: Hàm bậc 4 trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có
3 cực trị khi a,b trái dấu
Ta thấy
1.(-2) <0 nên hàm đã cho có 3 cực trị => C
Câu 3: Hàm số có $y'={{(x+2)}^{2}}{{(x-3)}^{3}}$
có mấy điểm cực trị
A.1
B.2
C.3
D.0
HD: Ta thấy 
nhưng y’ chỉ đổi dấu khi đi qua điểm x=3 => Hàm số đã cho có 1 điểm
cực trị
ðĐáp án A
Câu 4: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x-3}$
. Hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ .Tổng ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ bằng:
A.-6
B.3
C.6
D.7
HD: Ta có $y'=\frac{(2x+2)(x-3)-{{x}^{2}}-2x-1}{{{(x-3)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-6x-7}{{{(x-3)}^{2}}}$
Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$
là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-6x-7=0$ . Theo Vi-ét ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6$
=>C
Câu 5: Với giá trị nào của tham số m, hàm số
$y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3$
A.$m=\frac{3}{2}$
B.$m=-\frac{3}{2}$
C.m=3
B.m=-3
HD: Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x+m$ . Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$
là nghiệm của phương trình
$3{{x}^{2}}-6x+m=0$ . Theo Vi-ét, ta có:
Ta có: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3\Leftrightarrow
{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow
4-\frac{2m}{3}=2\Leftrightarrow m=3$
=>C
C. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ
Đồ thị trên
có mấy điểm cực trị?
A.2
B.1
C.0
D.3
Khẳng định
nào sau đây đúng ?
A.Hàm số đạt
cực đại tại x=2
B.Hàm số đạt
cực đại tại x=3
C.Hàm số đạt
cực đại tại x=4
D.Hàm số đạt
cực đại tại x=-2
Câu 3: Biết đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$
có hai điểm cực trị A, B. Khi đó phương trình đường thẳng AB là:
A.y = x - 2
B.y = 2x – 1
C.y = -2x +
1
D.y = -x + 2
Câu 4: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại,
cực tiểu của hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức
${{M}^{2}}-2n$ bằng:
A.8
B.7
C.9
D.6
Câu 5: Cho hàm số $y=f(x)=\left| {{x}^{2}}-2x-4 \right|$ có đồ thị như hình vẽ
Hàm số $y=f(x)$
có mấy cực trị?
A.4
B.1
C.3
D.2
Đáp án
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
A |
A |
C |
B |
C |
