Giải bải toán bằng cách lập phương trình
I . Lí thuyết :
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình :
Bước 1 : Lập phương trình :
- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
- Biểu thị các đại lượng chưa biết qua các đại lượng đã biết
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2 : Giải phương trình
Bước 3 : ( Kiểm tra và trả lời ) Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình , nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
II . Các dạng toán và ví dụ:
Dạng 1 : Toán chuyển động :
Ví dụ 1 : Một xe du lịch khởi hành từ A đến B . Nửa giờ sau, một xe tải xuất phát từ B để về A . Xe tải đi được 1 giờ thì gặp xe du lịch. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe du lịch có vận tốc lớn hơn xe tải là 10km/h và quãng đường AB dài 90km.
Giải
Gọi vận tốc xe tải là x ( km) ( x > 0 )
Khi đó ta có :
Vận tốc của xe du lịch là x + 10 ( km/h)
Thời gian xe du lịch đi từ A đến lúc gặp xe tải là : 0,5 + 1 = 1, 5(h)
Quãng đường xe du lịch và xe tải đi được đến lúc gặp nhau là ( x + 10 ) . 1,5 và x ( km)
Vì hai xe đi ngược chiều nên quãng đường AB là tổng quãng đường của hai xe đi được. Ta có phương trình :
( x + 10 ) . 1,5 + x = 90
< = > 2,5 x = 75
< = > x = 30 ( TM)
Vậy vận tốc xe du lịch và xe tải lần lượt là 40(km/h) và 30 ( km/h).
Nhận xét : Các bài toán chuyển động gồm ba đại lượng tham gia là quãng đường(S), vận tốc ( v) , thời gian (t) với quan hệ như sau : S= v.t
Ở ví dụ trên ta có thể sử dụng công thức gặp nhau của chuyển động ngược , cùng lúc : \[t=\frac{S*}{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}\], trong đó :
- \[{{v}_{1}},{{v}_{2}}\] lần lượt là vận tốc của xe du lịch và xe tải : \[{{v}_{2}}\]= \[{{v}_{1}}\] - 10
- S* là khoảng cách giữa hai xe : S* = 90 – 0,5. \[{{v}_{1}}\] (km)
\[\Rightarrow 1=\frac{90-0,5.{{v}_{1}}}{{{v}_{1}}+({{v}_{1}}-10)}\Rightarrow 2{{v}_{1}}-10=90-0,5{{v}_{1}}\Rightarrow {{v}_{1}}=40\Rightarrow {{v}_{2}}=30\]
Dạng 2 : Toán công việc :
Ví dụ 2 : Một bể có gắn 3 vòi nước : 2 vòi chảy vào và 1 vòi tháo ra ( vòi tháo ra đặt ở đáy bể ) . Biết rằng nếu chảy một mình , vòi thứ nhất chảy 8 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai vhayr 6 giờ đầy bể và vòi thứ ba tháo 4 giờ thì cạn một bể đầy. Bể đang cạn , người ta mở đồng thời vòi thứ nhất và vòi thứ hai trong 2 giờ rồi mở tiếp vòi thứ ba. Hỏi sau bao lâu từ lúc mở vòi thứ ba thì đầy bể ?
Giải
Gọi thời gian từ lúc mở vòi thứ ba là x ( giờ ) , điều kiện x > 0 .
Biểu thị dung tích của bể bằng 1 , ta có :
Năng suất của ba vòi lần lượt là : \[\frac{1}{8};\frac{1}{6};\frac{1}{4}\] ( bể / giờ )
Năng suất chung của vòi thứ nhất và vòi thứ hai là : \[\frac{1}{8}+\frac{1}{6}=\frac{7}{24}\] ( bể / giờ )
Năng suất chung của ba vòi là : \[\frac{1}{8}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=\frac{1}{24}\] ( bể / giờ )
Sau 2 giờ , hai vòi thứ nhất và thứ hai chảy được : \[2.\frac{7}{24}=\frac{7}{12}\] ( bể )
Sau x giờ , lượng nước trong bể là : \[x.\frac{1}{24}\] ( bể )
Theo đề ra , ta có phương trình : \[\frac{x}{24}+\frac{7}{12}=1\]
\[\Leftrightarrow \frac{x}{24}=\frac{5}{12}\Leftrightarrow x=10\left( TM \right)\]
Vậy thời gian từ lúc mở vòi ba đến lúc bể đầy là 10 giờ .
Dạng 3: Toán có nội dung số học
Ví dụ 3 : Tìm hai số tự nhiên sao cho khi lấy tổng , hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) , tích , thương ( số lớn chia số nhỏ ) của hai số đó cộng lại ta được kết quả 245.
Giải
Gọi số nhỏ là x ( x ϵ N* ) . Vì thương của số lớn và số nhỏ là số tự nhiên nên số lớn chia hết cho số nhỏ . Vì vậy ta gọi số lớn là kx , với k ϵ N.
Theo đề bài , ta có : ( kx + x ) + (kx – x ) + kx . x + k = 245
\[\Leftrightarrow k{{x}^{2}}+2kx+k=245\]
\[\Leftrightarrow k{{(x+1)}^{2}}={{5.7}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{(x+1)}^{2}}\in \] Ư(\[{{5.7}^{2}}\]) \[\Rightarrow {{(x+1)}^{2}}={{1}^{2}}\] hoặc \[{{(x+1)}^{2}}={{7}^{2}}\]
.png)
Vậy hai số cần tìm là 6 và 30.
Dạng 4 : Toán có nội dung hình học
Ví dụ 4: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 132m. Nếu tăng chiều dài thêm 8m và giamr chiều rộng đi 4m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 52\[{{m}^{2}}\]. Tính kích thước của hình chữ nhật.
Giải
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m), điều kiện 0 < x < 66
Khi đó, ta có :
Chiều rộng của hình chữ nhật là 66 – x (m).
Diện tích của hình chữ nhật là x.( 66 – x ) (\[{{m}^{2}}\])
Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật sau khi tăng , giảm lần lượt là x + 8 ; (66 – x) – 4 = 62 – x (m). Diện tích của hình chữ nhật khi đó là :
(x + 8 ) . ( 62 – x ) ( \[{{m}^{2}}\])
Theo đề ra , ta có phuong trình :
( x + 8 ) ( 62 – x ) = x ( 66 – x ) + 52
\[\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+54x+496=-{{x}^{2}}+66x+52\]
\[\Leftrightarrow 12x=444\Leftrightarrow x=37(TM)\]
Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 37(m) ; 29(m).
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Tổng hai chữ số của một số là 12, biết rằng chữu số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 4. Tìm chữ số đó ?
Bài 2 : Nếu giảm chiều dài của một hình chữ nhật đi 2,4 cm và tăng chiều rộng lên 30% thfi diện tích của hình chữ nhật đó tăng 4%. Tìm chiều dài ban đầu của hình chữ nhật ?
Bài 3 : Tổng số tuổi của hai anh em hiện nay là 63. Tuổi của người anh hiện nay gấp đôi số tuổi của em lúc người anh bằng tuổi em hiên nay. Tính số tuổi của hai anh em hiện nay ?
Bài 4 :Hai thùng đựng dầu : Thùng thứ nhất có 120 lít dầu, thùng thứ hai có 90 lít dầu. Sau khi lấy ra ở thùng thứ nhất một lượng dầu gấp ba lần lượng dầu lâý ra ở thùng thứ hai thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng ?
Bài 5 : Một cano tuần tra đi xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 20 phút và ngược dòng từ B về A hết 2 giờ. Tính vận tốc riêng của cano, biết vận tốc dòng nước là 3km/h.
Bài 6 : Lúc 7 giờ sáng, một người đi xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10km/h. Sau đó lúc 8 giờ 40 phút, một người khác đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 30km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?
Bài 7: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 12 ngày. Hai đội làm chung với nhau trong 4 ngày thì đội thứ nhất được điều đi làm việc khác, đội thứ hai làm nốt phần công việc còn lại trong 10 ngày. Hỏi đội thứ hai nếu làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công viêc đó ?
Bài 8 : Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ đã may được mỗi ngày 40 áo nên đã hoành thành trước thời hạn 3 ngày và ngoài ra còn may thêm được 20 chiệc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch?
