Phương trình tích
I . Lí thuyết :
- Phương trình tích là phương trình có dạng: A(x).B(x)…C(x) = 0 (1)
- Để giải phương trình (1) ta giải các phương trình A(x) = 0 ; B(x) = 0 ;….; C(x) = 0, rồi lấy hợp tất cả các nghiệm của chúng.
Trong chuyên đề này ta thường vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử dể biến đổi phương trình đã cho về phuong trình tích.
II . Các dạng bài tập và ví dụ :
Dạng 1 : Giải phương trình tích :
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau :
a, ( 2x – 7 ) ( 4 – 5x ) = 0 ;
b, 8x ( 3x – 5 ) = 6 ( 3x – 5 ).
Giải
.png)
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S=\left\{ \frac{7}{2};\frac{4}{5} \right\}\]
b, \[8x(3x-5)=6(3x-5)\Leftrightarrow 8x(3x-5)-6(3x-5)=0\]
.png)
Vậy phương trình có tập nghiệm là \[S=\left\{ \frac{5}{3};\frac{3}{4} \right\}\]
Lưu ý : Không được chia hai vế của phương trình cho 3x – 5 , vì như vậy sẽ làm mất nghiệm \[x=\frac{5}{3}\]của phương trình. Nếu muốn chia ta phải xét trường hợp 3x – 5 = 0 trước.
Dạng 2 : Giải phương trình đa thức bậc cao quy về phương trình tích
Ví dụ 2 : Giải các phương trình sau :
a, \[\left( 12{{x}^{2}}-3 \right)\left( x+3 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+7x+3 \right)\left( x-3 \right)=0\]
b, \[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-6x+8=0\]
Giải
a, Ta có phương trình tương đương :
\[3(2x-1)(2x+1)(x+3)+(2x+1)(x+3)(x-3)=0\]
\[\Leftrightarrow (2x+1)(x+3)\text{ }\!\![\!\!\text{ }3(2x-1)+(x-3)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }=0\]
.png)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \[S=\left\{ -\frac{1}{2};-3;\frac{6}{7} \right\}\]
b, \[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-6x+8=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}+2x-8x+0\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}(x-1)-2x(x-1)-8(x-1)=0\]
.png)
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2 ; 1 ; 4}
Dạng 3 : Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt ẩn phụ là phương pháp dùng một ẩn mới ( sau gọi là ẩn phụ ) thay cho một biểu thức cũ. Giải bài toán bằng phương pháp đặt ẩn phụ thường có các bước sau :
- Biến đổi phương trình để làm xuất hiện các nhóm hạng tử chứa ẩn giống nhau.
- Đặt nhóm hạng tử giống nhau bằng ẩn mới. Thay vào phương trình đã cho ta được một phương trình theo ẩn mới ( đơn giản hơn phương trình ban đầu hoặc đã biết cách giải ).
- Giải phương trình theo ẩn mới.
- Với mỗi giá trị tìm được của ẩn mới, thay vào biểu thức đặt ẩn ta tìm được các giá trị tương ứng với ẩn ban đầu.
Ví dụ 3 : Giải phương trình : (x – 1 ) ( x + 2 ) ( x – 6 ) ( x – 3 ) = 34.
Giải
Ta có phương trình :
[( x – 1 ) ( x – 3 ) ][( x + 2 ) ( x – 6 ) ] = 34
\[\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-4x-12 \right)=34\]
Đặt \[{{x}^{2}}-4x+3\] = t , ta có : t. ( t – 15 ) = 34
.png)
Với t = -2 , ta có : \[{{x}^{2}}-4x+3=-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4=-2\]
\[\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}=-1:\] vô nghiệm.
Với t = 17 , ta có \[{{x}^{2}}-4x+3=17\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+4=18\]
\[\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}=18\Leftrightarrow x-2=\pm \sqrt{18}\Leftrightarrow x=2\pm \sqrt{18}\]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }2-\sqrt{18};2+\sqrt{18}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }\]
Nhận xét : Có thể áp dụng phương pháp trên để giải phương trình tổng quát sau đây :
( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = e , với a + b = c + d .
III .Bài tập tự luyện :
Bài 1: Giải các phương trình sau :
a, ( x – 6 ) ( 2x – 5 ) ( 3x + 9 ) = 0 ;
b, 2x ( x – 3 ) + 5 ( x – 3 ) = 0 ;
c, ( \[{{x}^{2}}\]- 4 ) – ( x – 2 ) ( 3 – 2x ) = 0 .
Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm x = - 7 :
\[(2m-5)x-2{{m}^{2}}+8=43\].
Bài 3 : Giải các phương trình :
a, \[(2m-5)x-2{{m}^{2}}+8=43\]
b, \[{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+12x-9=0\]
Bài 4 : Giải các phương trình sau :
a, ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) – 24 = 0 ;
b, \[({{x}^{2}}-3x+2)({{x}^{2}}+15x+56)+8=0\].
Bài 5 : Giải phương trình :
\[({{x}^{2}}+11x+12)({{x}^{2}}+9x+20)({{x}^{2}}+13x+42)=36({{x}^{2}}+11x+30)({{x}^{2}}+11x+31)\]
