Hình bình hành

Hình bình hành

I . Tóm tắt lý thuyết:

1. Định nghĩa:

- Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

- Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song.

2. Tính chất:

Định lý:

Trong hình bình hành thì:

- Các cạnh đối bằng nhau (AB = DC ; AD = BC)

- Các góc đối bằng nhau \[\left( \widehat{A}=\widehat{C};\widehat{B}=\widehat{D} \right)\]

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết: (Chứng minh một tứ giác là hình bình hành)

Cách 1:Chứng minh tứ giác có các cạnh đối song song

Cách 2: Chứng minh tứ giác có các cạnh đối bằng nhau

Cách 3: Chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau

Cách 4: Chứng minh tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau

Cách 5: Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

AC cắt BD tại O

O là trung điểm của AC

O là trung điểm của BD

=> ABCD là hình bình hành

II . Bài toán ví dụ :

Bài toán 1: Cho hình bình hành ABCD . Lấy các điểm E , F , H , G lần lượt trên AB , BC , CD , DA sao cho AE = CH , BF= DC
a) Hãy kể các hình bình hành có trong hình
b) Chứng tỏ AC , BD , EH , FG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn

Giải

a, Chứng minh được tam giác AEG= tam giác CHF(c.g.c)
    Do đó GE=FH(cặp cạnh tương ứng) (1)
    Chứng minh tương tự ta được tam giác BEF= tam giác DHG(c.g.c)
    Do đó EF=HG(cặp cạnh tương ứng) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFHG là hình bình hành.
b, Xét hình bình hành ABCD có AC; BD là đường chéo, chúng cắt nhau tại I
    Do đó AC; BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn (a)
    Hay AI=CI; BI=DI
    Chứng minh được tam giác AIE= tam giác CIH(g.c.g)
    Do đó IE=IH(cặp cạnh tương ứng)
    Do đó AC;EH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn (b)
   Mặt khác ta có EH; FG là đường chéo của hình bình hành EFHG mà I là trung điểm của EH
   Nên I cũng là trung điểm của FG
   Hay EH; FG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn (c)
   Từ (a); (b); (c) suy ra AC; BD: EH;FG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn(đpcm).

Bài toán 2: Cho hình bình hành ABCD. tính số đo các góc
a) biết góc A là 110 độ
b) góc A-góc B là 20 độ

Giải

Ta có \[\widehat{A}=\widehat{C}=110{}^\circ \]
Theo đinh lí tổng các góc trong tứ giác ta có:
                \[\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360{}^\circ \]
              \[\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{D}=360{}^\circ -2.110{}^\circ \]
              \[\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{D}=140{}^\circ \]
                  \[M\grave{a}\,\widehat{B}=\widehat{D}\]
              \[\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{D}=70{}^\circ \]

III . Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I,K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK ở E và F. Chứng minh rằng DE = EF = FB.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có góc A = α > 90°. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các tam giác đều ADF, ABE.

a, tính \[\widehat{EAF}\];

b, Chứng minh tam giác CEF đều.

Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A = 60⁰ . Dựng phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABE và ACF, rồi dựng hình bình hành AEDF. Chứng minh tam giác BCD đều.

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng:

a, EMFN là hình bình hành

b, Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy.

Bài 5: Chứng minh rằng trong một tứ giác bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo, trung điểm của các cặp cạnh đối cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.