Phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phân thức đa thức thành nhân tử. Phương pháp dùng bất đẳng thức

I . Lí thuyết :

-Phâp tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số ) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đa thức.

-Để phân tích một đa thức thành nhân tử ta dùng các hằng đẳng thức sau đây:

1, \[{{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}={{\left( A+B \right)}^{2}}\];

2, \[{{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}={{\left( A-B \right)}^{2}}\];

3, \[{{A}^{2}}-{{B}^{2}}=\left( A+B \right)\left( A-B \right)\];

4, \[{{A}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}={{\left( A+B \right)}^{3}}\];

5, \[{{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}={{\left( A-B \right)}^{3}}\];

6, \[{{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)\];

7, \[{{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)\].

II . Bài toán ví dụ:

Bài toán 1: Phân tích đa thức \[{{x}^{2}}-4\]thành nhân tử :

                                                          Giải

\[{{x}^{2}}-4={{x}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\].

Bài toán 2: Phân tích đa thức \[{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-8\] thành nhân tử :

                                                          Giải

\[{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-8={{x}^{3}}-3.{{x}^{2}}.2+3.x{{.2}^{2}}-{{2}^{3}}={{\left( x-2 \right)}^{3}}\]

Bài toán 3 : Phân tích đa thức \[{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-9\] thành nhân tử :

                                                         Giải

\[{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-9=\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+12x-8 \right)-1\]

                                  \[={{\left( x-2 \right)}^{3}}-1\]

                                  \[=\left( x-2-1 \right)\text{ }\!\![\!\!\text{ }{{\left( x-2 \right)}^{2}}+\left( x-2 \right)+1]\]

                                \[=\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+3 \right)\].

III . Bài tập tự luyện :

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

\[a,\,\,\,\,{{x}^{2}}+4x+4;\]

\[b,\,\,\,\,4{{x}^{2}}-4x+1;\]

\[c,\,\,\,\,2x-1-{{x}^{2}};\]

\[d,\,\,\,{{x}^{2}}+x+\frac{1}{4};\]

\[e,\,\,\,\,{{x}^{2}}-6xy+9{{y}^{2}};\]

\[f,\,\,\,{{x}^{2}}-9{{y}^{2}};\]

\[g,\,\,\,\,{{\left( x+5 \right)}^{2}}-4{{x}^{2}};\]

\[h,\,\,\,\,\,{{\left( x+1 \right)}^{2}}-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}};\]

\[i,\,\,\,\,\,\,8{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}y+6x{{y}^{2}}-{{y}^{3}};\]

\[k,\,\,\,\,\,8{{\left( x+2 \right)}^{3}}-1;\]

\[l,\,\,\,\,\,\,{{x}^{2}}-\left( {{y}^{2}}-4y+4 \right);\]

\[m,\,\,\,\,\,{{y}^{2}}-\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right);\]

\[n,\,\,\,\,\,\,{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}y+12x{{y}^{2}}-8{{y}^{3}};\]

\[o,\,\,\,\,\,{{x}^{3}}-{{\left( x+3 \right)}^{3}}.\]\[\]

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

\[a,\,\,\,\,4{{x}^{2}}-4x+1;\]

\[b,\,\,\,\,{{x}^{2}}\_2x-3;\]

\[c,\,\,\,\,{{\left( x+2 \right)}^{3}}-1;\]

\[d,\,\,\,\,4{{x}^{2}}-4xy+{{y}^{2}};\]

\[e,\,\,\,\,\,{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+12x+9;\]

\[f,\,\,\,{{x}^{2}}-2x-2;\]

\[g,\,\,\,{{x}^{2}}+2x-3;\]

\[h,\,\,\,2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-2;\]

\[i,\,\,\,\,{{\left( x-1 \right)}^{3}}-1;\]

\[k,\,\,\,{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x+7.\]

 Bài 3: Tính nhanh:

\[a,\,\,\,\,\,\,{{65}^{2}}-{{35}^{2}};\]

\[b,\,\,\,\,\,\,{{35}^{2}}+40.35+{{20}^{2}}-{{45}^{2}};\]

\[d,\,\,\,\,\,{{85}^{2}}-{{15}^{2}}+{{77}^{2}}-{{23}^{2}};\]

Bài 4: Tìm x, biết :

\[a,\,\,\,\,\,\,{{x}^{2}}+4=4x;\]

\[b,\,\,\,\,\,\,{{x}^{2}}+6x=-9;\]

\[c,\,\,\,\,\,\,{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x=1;\]

\[d,\,\,\,\,\,{{\left( x+1 \right)}^{2}}-{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=0;\]

\[e,\,\,\,\,\,\,8{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+6x=1.\]

Bài 5: Chứng minh :

a, x\[{{\left( 2k-3 \right)}^{2}}-5\]  chia hết cho 4;

b,\[9-{{\left( 2+5k \right)}^{2}}\]chia hết cho 5.

 

 

.

Bài viết gợi ý: