Số nguyên tố
I . Lí thuyết:
1 . Định nghĩa:
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là một và chính nó.
- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước.
2 . Tính chất:
- Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q.
- Nếu tích a.b.c không chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích a.b.c chia hết cho số nguyên tố p.
- Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích a.b không chia hết cho số nguyên tố p.
3 . Cách nhận biết một số nguyên tố:
a, Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn.
- Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố.
- Nếu chia cho đến lúc số thương nhỏ hơn số chia mà phép chia vẫn còn số dư thì số đó là số nguyên tố.
b, Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố.
4 . Phân tích một số ra thừa số nguyên tố :
- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
+ Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó.
+ Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố.
\[A={{a}^{\alpha }}.{{b}^{\beta }}.......{{c}^{\gamma }}\]
Với a, b, c là những số nguyên tố.
\[\alpha ,\beta ,......,\gamma \in N\] và \[\alpha ,\beta ,......,\gamma \ge 1\]
5 . Số các ước số và tổng các ước số của một số:
Giả sử \[A={{a}^{\alpha }}.{{b}^{\beta }}.......{{c}^{\gamma }}\]
Với a, b, c là những số nguyên tố.
\[\alpha ,\beta ,......,\gamma \in N\] và \[\alpha ,\beta ,......,\gamma \ge 1\]
+ Số các ước số của A là: \[(\alpha -1)(\beta -1)...(\gamma -1)\].
.png)
6 . Số nguyên tố cùng nhau:
- Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
- Hai số a và b nguyên tố cùng nhau < = > ước chung lớn nhất (a,b) = 1.
- Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau < = > ước chung lớn nhất (a,b,c) = 1.
- Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau < = > ước chung lớn nhất (a,b) = ước chung lớn nhất (b,c) = ước chung lớn nhất (a,c) = 1.
II . Bài toán ví dụ:
Bài toán 1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn hay số lẻ.
Giải
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn lại 24 số nguyên tố còn lại là lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.
Bài toán 2: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 2018. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.
Giải
Vì tổng của ba số nguyên tố bằng 1012, nên trong ba số đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất.
Vậy số nguyên tố nhỏ nhất tronng ba số nguyên tố là số 2.
Bài toán 3: Tồng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không ? Vì sao ?
Giải
Vì tổng của hai số nguyên tố bằng 2003, nên trong hai số nguyên tố đó tồn tại một số nguyên tố chẵn, Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3 => 2001 không là số nguyên tố.
Bài toán 4:Tìm số nguyên tố p, sao cho p +2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
Giải
Giả sử p là số nguyên tố.
- Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố.
- Nếu p \[\ge \] 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng : 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k ϵ N*.
+ Nếu p = 3k => p = 3 => p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là số nguyên tố.
+ Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) => p +2 = 3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 là hợp số.
+ Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) => p + 4 = 3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 là hợp số.
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1: Tìm các số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a, p + 2 và p + 10;
b, p + 10 và p + 20;
c, p + 10 và p + 14;
d, p + 14 và p + 20;
e, p + 2 và p + 8;
f, p +2 và p + 14;
g, p + 4 và p + 10;
h, p + 8 và p + 10.
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: \[{{x}^{2}}-6{{y}^{2}}=1\]
Bài 3: Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố.
Bài 4: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1.
Bài 5: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số.
