Hàm Số

1. Định nghĩa

       · Cho D là tập hợp con của R, D khác rỗng. Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương                 ứng mỗi số x                   thuộc D với một và chỉ một số y thuộc R.

       · x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x).

       · D đgl tập xác định của hàm số.

       · T = $\left\{ y=f(x)\left| x\in D \right. \right\}$đgl tập giá trị của hàm số.

2. Cách cho hàm số

       · Cho bằng bảng              · Cho bằng biểu đồ     · Cho bằng công thức y = f(x).

       Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

3. Đồ thị của hàm số

       Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm $M\left( x;f(x) \right)$ trên mặt phẳng toạ độ với mọi x Î D.

       Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường. Khi đó ta nói y = f(x) là phương trình của đường đó.

4. Sư biến thiên của hàm số

       Cho hàm số f xác định trên K.

       · Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K:{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f({{x}_{1}})<>

       · Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K:{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$

5. Tính chẵn lẻ của hàm số

       Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

       · Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D thì –x thuộc D và f(–x) = f(x).

       · Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D thì –x thuộc D và f(–x) = f(-x).

       Chú ý:      + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

                        + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

· Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa:     D = $\left\{ x\in R\left| f(x)\,\,co\grave{u}\,\,ngh\acute{o}a \right. \right\}$.

       · Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:

1) Hàm số y = $\frac{P(x)}{Q(x)}$:               Điều kiện xác định: Q(x) khác 0.

2) Hàm số y = $\sqrt{R(x)}$:  Điều kiện xác định: R(x) lớn hơn bằng 0.

       Chú ý:      + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.

                        + Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A thuộc D.

                        + + A.B khác 0.

Cho hàm số f xác định trên K.

       ·  y = f(x) đồng biến  trên K Û $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K:{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f({{x}_{1}})

                                                     Û $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K:{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Rightarrow \frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0$

       ·  y = f(x) nghịch biến trên K Û $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K:{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$

                                                       Û $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K:{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Rightarrow \frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0$

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:

       · Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.

       · Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).

            + Nếu f(–x) = f(x), "x thuộc D thì f là hàm số chẵn.

            + Nếu f(–x) = –f(x), "x thuộc D thì f là hàm số lẻ.

       Chú ý:      + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với mọi x thuộc D thì –x thuộc D.