MỘT SỐ DẠNG TOÁN THỰC TẾ

Bài này chúng ta đi tìm hiểu một số dạng toán thực tế áp dụng hàng ngày.

Dạng 1: Bài toán ứng dụng hàm số mũ, logarit.

* Bài toán lãi suất

1. Lãi đơn: Tiền lãi của kỳ trước không được tính vào vốn của kỳ kế tiếp, nếu đến kỳ hạn  người gửi không rút lãi ra.

 

             CÔNG THỨC:                 $C=A(1+r.n)$

 

 

2. Lãi kép ( dạng thường gặp ):  Đến kỳ hạn người gửi không rút lãi ra, tiền lãi được tính vào tiền vốn của kỳ kế tiếp.

 

              CÔNG THỨC:                $C=A{{(1+r)}^{n}}$

 

Trong đó:

   C: Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn

   A: Số tiền gửi ban đầu

   n:  Số kỳ hạn tính lãi

   r:  Lãi suất định kỳ, tính theo %

 

 

 

 Áp dụng CT:    $$C = {30.10^6}.\left( {1 + 5.6,9\% } \right) = 40,35$$  triệu đồng.

 Áp dụng CT, tổng số tiền người đó thu được là $$C = {30.10^6}.{\left( {1 + 7,56\% } \right)^5} \approx 43,2$$ triệu đồng.

 

 

+ Nếu gửi theo thể thức lãi đơn, số tiền người đó thu được tất cả là:

$$C_{1}^{{}}={50.10}^{6}.\left( {1+10.7\% }\right) = 85$$ triệu đồng 

+ Nếu gửi theo thể thức lãi kép, số tiền người đó thu được tất cả là:

$$C_{2}^{{}}={50.10}^{6}.{\left( {1 + 6\% } \right)^{10}} \approx 89,542$$ triệu đồng 

Ta thấy $C_{2}^{{}}>C_{1}^{{}}$ . Do đó, người này nên gửi theo thể thức lãi kép lãi suất 6% mỗi năm.

* Nhận xét: Để làm bài toán về lãi suất cần phân biệt được lãi đơn và lãi kép, nhớ công thức và áp dụng một cách linh hoạt, tránh nhầm lẫn công thức.

 

Dạng 2: Bài toán ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số.

 

 A. 112687500VNĐ      B. 11487500VNĐ      C. 115687500VNĐ       D. 117187500VNĐ

 

 

Hướng dẫn:

 

Diện tích đất bán ra càng lớn thì số tiền nhận được càng cao.

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất ban đầu lần lượt là $$\[x,y\]với \[0<><>

Chu vi mảnh đất ban đầu bằng 50m   16 ">       $\Rightarrow 2\left( x+y \right)=50\Leftrightarrow y=25-x$

Diện tích mảnh đất được bán :          

$S = x\left( {y - x} \right) = x\left( {25 - 2x} \right) = 25x - 2{x^2}$ $ = - {\left( {x\sqrt 2 - {{25} \over {2\sqrt 2 }}} \right)^2} + {{625} \over 8} \le {{625} \over 8}$

Dấu “=” xảy ra  khi $x\sqrt{2}=\frac{25}{2\sqrt{2}}$ \[\Leftrightarrow x=\frac{25}{8}\Rightarrow y=25-\frac{25}{8}=\frac{175}{8}\]

Như vậy, diện tích đất lớn nhất được bán ra là 78,125${{m}^{2}}$

Khi đó số tiền lớn nhất mà gia đình Sơn nhận được khi bán đất là

16m2">

      78,125.1500000=117187500 VNĐ

Chọn D.

 

 

 

 A. 5s               B. 4s               C. 3s               D. 2s

 

 

Hướng dẫn:

Có $v(t)=S'(t)=-3{{t}^{2}}+18t+1$

      $v'(t)=-6t+18$

      $v'(t)=0\Leftrightarrow t=3$

Vẽ bảng biến thiên ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi $t=3s$

   Chọn C.

 

*Nhận xét:

 + Bài toán ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số có thể biến đổi thành hằng đẳng thức, bất đẳng thức để đánh giá hoặc khảo sát hàm số trên một miền giá trị nào đó.

 + Trong những bài toán này khi ta vẽ bảng biến thiên, giá trị của biến để hàm y đạt max/min thường rơi vào giá trị để y’=0. Vì vậy khi làm bài trắc nghiệm, để rút ngắn thời gian làm bài ta thường lấy luôn giá trị đó.

 

Dạng 3: Bài toán ứng dụng nguyên hàm, tích phân.

 

 

   A. 8400 16m3">                 B. 2200\[{{m}^{3}}\]             C. 6000\[{{m}^{3}}\]           D. 4200\[{{m}^{3}}\]

 

 

Hướng dẫn:

 

Ta có: \[h(t)=\int{h'(t)dt=\int{(3a{{t}^{2}}+bt)dt=a{{t}^{3}}+b.\frac{{{t}^{2}}}{2}+c}}\]

Vì ban đầu bể không chứa nước nên \[c=0\]      \[\Rightarrow h(t)=a{{t}^{3}}+b.\frac{{{t}^{2}}}{2}\]

Ta có:

                     \[h\left( 5 \right)=a{{.5}^{3}}+b.\frac{{{5}^{2}}}{2}=150\]

                  $h\left( 10 \right)=a{{.10}^{3}}+b.\frac{{{10}^{2}}}{2}=1100$ 

 

Giải hệ trên ta được \[a=1,b=2\]

Khi đó \[h\left( t \right)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}\]

Vậy thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là \[h\left( 20 \right)={{20}^{3}}+{{20}^{2}}=8400{{m}^{3}}\]

Chọn A.

 

 

A. 10130               B. 5130             C. 5129               D. 10129

 

Hướng dẫn :

Ta có $c=5000$ $N(x)=\int{N'(x)dx=\int{\frac{2000}{1+x}dx=2000.\ln |1+x|+c}}$

Vì ban đầu có 5000 con vi khuẩn nên $c=5000$

Vậy số lượng vi khuẩn sau 12 ngày là $N(12)=2000.\ln |1+12|+5000\approx 10130$con

Chọn A.

 

*Nhận xét : Khi làm bài toán ứng dụng nguyên hàm, tích phân cần nhớ công thức $\int{f'(x)dx=f(x)+c}$ và bảng nguyên hàm cơ bản.

 

Bài tập tự luyện :

Bài 1 : Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 12% mỗi năm. Biết rằng cứ sau mỗi quý (3 tháng) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó thu lại được số tiền (gồm cả vốn lẫn lãi) gấp 3 lần số tiền gửi ban đầu ?

   A. 8 năm              B. 9 năm              C. 10 năm                D. 11 năm

 

 

Bài 2 : Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905300 người. Mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm. Tỉnh thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1. Đến năm học 2024-2025, ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn bị bao nhiêu phòng học cho học sin lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh ? ( Giả sử trong năm sinh của lứa học sinh vào lớp 1 đó toàn tỉnh có 2400 người chết, số trẻ tử vong trước 6 tuổi không đáng kể ).

   A. 458                      B. 222                     C. 459                        D.221

 

Hướng dẫn :

Chỉ những em sinh năm 2018 mới đủ tuổi vào lớp 1 năm học 2024-2025.

Áp dụng công thức \[S_{n}^{{}}=A{{\left( 1+r \right)}^{n}}\] để tính số dân năm 2018

Trong đó :   \[A=905300\] ;r=1,37% ;$n=8$

Tương tự \[n=7\] ta tính được số dân năm 2017.

Số trẻ vào lớp 1 = Số dân năm 2018 – Số dân năm 2017 + Số người chết năm 2018

 

Bài 3: Một người thợ mộc cần xây một căn phòng hình chữ nhật bằng gỗ với chu vi 54m. Các cạnh của căn phòng là bao nhiêu để diện tích căn phòng là lớn nhất?

    A.\[\frac{21}{4}\]                    B. \[\frac{27}{2}\]                       C.\[\frac{25}{2}\]                        D. \[\frac{27}{4}\]

 

Bài 4 : Đường dây điện 110KV kéo dài từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). Biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km. Khoảng cách từ A đến B là 100km. Mỗi km dây điện dưới nước chi phí 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C tốn ít chi phí nhất ?

   A. 40km                     B. 45km                  C. 50km                   D 55km

 

Hướng dẫn:

  Gọi \[\]BG \[=\]\[x,0

  Ta có: GC \[=\sqrt{{{x}^{2}}+3600}\]

  Chi phí mắc dây điện theo giả thiết là \[f\left( x \right)=3000(100-x)+5000.\sqrt{{{x}^{2}}+3600}\]

  Khảo sát hàm ta được \[x=45\]thì $f\left( x \right)$ đạt GTNN

 

Bài 5: Một vât chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian theo công thức \[v\left( t \right)=3t+2\], thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Tại thời điểm \[t=2s\]vật đi được quãng đường 10m. Hỏi tại thời điểm \[t=30s\]vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

  A. 1410m                B. 1140m             C. 420m              D. 240m

 

Hướng dẫn:  \[s\left( t \right)=\int{v\left( t \right)dt}\]

 

Bài 6: Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 24,5m/s và gia tốc trọng trường 9,8\[m/{{s}^{2}}\]. Quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là (coi viên đạn được bắn lên từ mặt đất)

   A. 61,25m              B. 30,625m            C. 29,4m             D. 59,5m

 

Hướng dẫn:

Chọn chiều dương từ mặt đất hướng lên, gốc thời gian lúc \[t=0\] bắt đầu từ khi viên đạn được bắn lên.

Ta có vận tốc viên đạn theo thời gian \[t\] là \[v\left( t \right)=v_{0}^{{}}-gt=24,5-9,8t\]    \[\left( m/s \right)\]

Khi viên đạn ở vị trí cao nhất có vận tốc bằng 0, tương ứng tại thời điểm \[t=\frac{5}{2}\]

Quãng đường viên đạn đi được vì mặt đất đến vị trí cao nhất là

          \[S(t)=\int\limits_{0}^{\frac{5}{2}}{|v(t)|dt}=\int\limits_{0}^{\frac{5}{2}}{|24,5-9,8t|dt}=\frac{245}{8}\]

Vậy quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên đến lúc rơi xuống đất là               \[2.\frac{245}{8}=61,25\](m)

CHÚC CÁC BẠN HỌC TẬP TỐT!!!

 

Bài viết gợi ý: