Cho đường tròn tâm O và các tiếp tuyến AB, AC như hình vẽ dưới đây. Ta xét các trường hợp:
.png)
1. Định lý hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm (hình a).
2. Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác (hình b).
3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia.
Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, giao điểm này cùng nằm trên đường phân giác góc A (hình c).
Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
Bài tập: Cho đường tròn \[\left( O \right),\] điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \[AM,AN\] với đường tròn( M, N là các tiếp điểm)
- Chứng minh \[OA\bot MN.\]
- Vẽ đường kính \[NOC.\] Chứng minh rằng \[MC//AO.\]
- Tính độ dài cạnh $MN$của tam giác \[AMN\]biết OM=3cm, OA=5cm.
Giải.
.png)
a)
Ta có $AM=AN$( theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Mà $OM=ON$( vì cùng bằng R)
Suy ra \[OA\] là đường trung trực của \[MN.\]
\[\Rightarrow ~OA\bot MN\]
b)
Xét tam giác MNC có: \[NC\] là đường kính nên suy ra \[\widehat{\text{ }NMC}={{90}^{o}}\]
\[\Rightarrow NM\bot MC.\]
Mà \[OA\bot MN\] (chứng minh trên)
\[\Rightarrow MC//OA.\]
c)
Xét tam giác vuông \[AMO.\] Theo định lý Py-ta-go ta có:
\[AM=\sqrt{A{{O}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4(cm).\]
Vì \[AM=AN\] nên \[AN=4cm.\]
