Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng

   Khi phân tích một bài toán cần phải thiết lập được các mối liên hệ và phụ

thuộc giữa các đại lượng cho trong bài toán đó. Muốn làm việc này ta thường

dùng các đoạn thẳng thay cho các số ( số đã cho, số phải tìm trong bài toán ) để

minh họa các quan hệ đó. Ta phải chọn độ dài các đoạn thẳng và cần sắp xếp các

đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối liên hệ và

phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi

cách giải bài toán.

   Ví dụ 1. Một cửa hàng có số mét vải hoa nhiều hơn số mét vải xanh là 540m. Hỏi mỗi loại vải có bao nhiêu mét, biết rằng số mét vải xanh bằng $\frac{1}{4}$ số mét vải hoa ?

Phân tích. Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 1 :

   Vẽ sơ đồ đoạn thẳng như thế này dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài toán

: số mét vải hoa nhiều hơn vải xanh là 540m ( biểu thị quan hệ hai số hơn kém

nhau một đơn vị ) và số mét vải hoa nhiều gấp 4 lần số mét vải xanh ( biểu thị

quan hệ so sánh số này gấp số kia một số lần )

   Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số mét vải xanh bằng cách lấy 540 chia cho 3 (

vì số mét vải xanh bằng $\frac{1}{3}$  của số 540m ) ; Cũng nhờ sơ đồ gợi cho ta cách tìm

số mét vải hoa bằng cách lấy số mét vải xanh tìm được đem cộng với 540m (

hoặc gấp 4 lần số mét vải xanh )

Giải :

   Vì số mét vải xanh bằng $\frac{1}{4}$  số mét vải hoa và số mét vải xanh ít hơn số mét vải hoa là 540m nên số mét vải xanh là :

540 : 3 = 180 (m)

Số mét vải hoa là :

180 + 540 = 720 (m)

(hoặc 180 x 4 = 720 (m) )

Cũng có thể giải bài toán theo cách sau đây :

Số mét vải hoa là :

540 : 3 x 4 = 720 (m)

Số mét vải xanh là :

720 – 540 = 180 (m)

Ví dụ 2. Một đội công nhân sửa chữa đường sắt, ngày thứ nhất sửa chữa được

15m đường, ngày thứ hai hơn ngày thứ nhất 1m ngày thứ ba hơn ngày thứ nhất

2m. Hỏi trung bình mỗi ngày đội công nhân ấy sửa chữa được bao nhiêu mét

đường sắt ?

Phân tích. Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 2 :

Nhìn sơ đồ này gợi cho ta cách tìm số mét của ngày thứ hai, số mét của ngày

thứ ba. Từ đó tìm được đáp số của bài toán

Giải :

Ngày thứ hai sửa chữa được là :

15 + 1 = 16 (m)

Ngày thứ ba sửa chữa được là :

15 + 2 = 17 (m)

Cả ba ngày sửa chữa được là :

15 + 16 + 17 = 48 (m)

Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là :

48 : 3 = 16 (m)

Ta có thể giải bài toán bằng cách sau đây :

Cả ba ngày sửa chữa được là :

15 x 3 + 1 + 2 = 48 (m)

Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là :

48 : 3 = 16 (m)

Nếu ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 3 thì bài toán có thể giải một cách ngắn gọn hơn như sau :

Giải

Nếu ta chuyển 1m của ngày thứ ba sang ngày thứ nhất thì số mét của cả ba ngày

đều bằng nhau và bằng số mét của ngày thứ hai ( hình 3 ). Vậy số mét của ngày

thứ hai là:

15 + 1 = 16 (m)

Trung bình mỗi ngày sửa được 16m

   Ví dụ 3. Cùng một lúc Giang đi từ A đến B, còn Dương đi từ B đến A. Hai bạn

gặp nhau lần đầu tại một điểm C cách A 3km, rồi lại tiếp tục đi. Giang đến B rồi

quay lại A ngay, còn Dương đến A rồi cũng trở về B ngay. Hai bạn gặp nhau lần

thứ hai tại một điểm D cách B 2km

Tính quãng đường AB và xem ai đi nhanh hơn

Phân tích. Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 4 :

Theo đầu bài thì Giang đi từ A đến B rồi quay lại D, còn Dương đi từ B đến A

rồi cũng quay lại D, lúc đó hai bạn gặp nhau lần thứ hai ở D. Nhìn trên sơ đồ ta

thấy, cho đến khi gặp nhau lần thứ hai ở D, cả Giang và Dương đã đi cả thấy 3

lần quãng đường AB. Khi Giang và Dương gặp nhau lần thứ nhất ở C thì cả hai

bạn đã đi được vừa đúng một lần quãng đường AB, trong khi đó Giang đi được

đoạn AC dài 3km. Do đó khi cả hai bạn đi cả thấy ba lần quãng đường AB thì

Giang di được là

3 x 3 = 9 (km)

   Đoạn đường Giang đi được từ A đến B rồi tới D dài hơn quãng đường AB một

đoạn BD dài 2km. Vì vậy quãng đường AB dài là

9 – 2 = 7 (km)

   Khi gặp nhau lần thứ nhất thì Giang đi được 3km, do đó Dương đi được là

7 – 3 = 4 (km)

Trong cùng một thời gian kể từ lúc bắt đầu đi cho đến khi gặp nhau mà Dương

đi được 4km, Giang đi được 3km, suy ra Dương đi nhanh hơn Giang.

Giải

Cho đến khi gặp nhau lần thứ hai thì cả hai bạn Giang và Dương đã đi cả thẩy 3

lần quãng đường AB. Hai bạn cứ đi một lần quãng đường AB thì Giang đi được

3km. Như vậy Giang đã đi một quãng đường là :

3 x 3 = 9 (km)

Quãng đường AB dài là :

9 – 2 = 7 (km)

Khi gặp nhau lần đầu tiên, Giang đi được 3km, còn Dương đi được là :

7 – 3 = 4 (km)

Cùng một thời gian Dương đi được một quãng đường dài hơn quãng đường của Giang, nên Dương đi nhanh hơn Giang

 

Bải tập

1.Người ta lấy ra khỏi một kho đông lạnh 17 tấn cá Hỏi phải đưa vào kho đó bao

nhiêu tấn cá để trong kho sẽ có số cá nhiều hơn số cá trước khi lấy là 8 tấn ?

2.Hiện nay anh 11 tuổi, em 5 tuổi. Hãy tính tuổi mỗi người khi anh gấp 3 lần

tuổi em

3.Trung bình cộng của hai số bằng 14. Biết rằng một phần ba số này bằng một

phần tư số kia. Tìm một số

4.Cho ba số có trung bình cộng bằng 21. Tìm ba số đó, biết rằng số thứ ba gấp 3

lần số thứ hai, số thứ hai gấp 2 lần số thứ nhất

5.Hà, Phương và Hiếu cùng tham gia trồng su hào. Hà và Phương trồng được 46

cây, Phương và Hiếu trồng được 35 cây. Hiếu và Hà trồng được 39 cây. Hỏi mỗi

bạn trồng được bao nhiêu cây su hào ?

6.Một thùng đựng dầu cân nặng cả thẩy 14kg. Người ta đổ ra một phần ba số

dầu trong thùng thì cả thùng và số dầu còn lại nặng 10kg. Tính xem thùng không

có dầu nặng mấy kilôgam ?

7.Giang cùng với mẹ đi tẩu hỏa về quê. Đi được nửa quãng đường thì Giang

chợt ngủ thiếp đi. Lúc thức giấc, Giang hỏi mẹ thì biết rằng còn phải đi một nửa

của quãng đường mà Giang đã ngủ thì mới đến nơi. Hỏi quãng đường mà Giang

ngủ thiếp đi bằng bao nhiêu phần quãng đường phải đi ?

8.Hiệu của hai số bằng 12. Nếu gấp số lớn lên 3 lần thì số mới tạo thành sẽ hơn

số bé 48 đơn vị. Tìm mỗi số đã cho

9.Tổng ba số bằng 74. Nếu lấy số thứ hai chia cho số thứ nhất và lấy số thứ ba

chia cho số thứ hai thì đều được thương là 2 và dư 1. Tìm mỗi số đó.

10.Hai anh em đi hái nấm. Em hỏi “Anh hái được bao nhiêu nấm rồi ? Có được

nửa chục không ?”. Anh trả lời : “Nếu lấy đi một nửa số nấm của anh rồi cho

anh một cái nấm thì anh sẽ có nửa chục. Thế còn em hái được bao nhiêu nấm ?”.

Em trả lời: “Nếu lấy đi một nửa số nấm của em và lấy thêm một cái nữa thì em

sẽ có nửa chục”.

  Hỏi cả hai anh em hái được bao nhiêu nấm ?

Đáp án bài:

Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng - Giải toán tiểu học

1 Số cá đưa thêm vào kho phải lớn hơn 17 tấn vì phải bù vào số cá đã lấy đi

mà vẫn còn nhiều hơn 8 tấn. Dựa vào sơ dồ tìm phép tính thích hợp.

2. Theo đầu bài, tuổi của anh luôn luôn nhiều hơn của em là 6 tuổi. Vẽ sơ đồ về

số tuổi của anh và số tuổi của anh gấp 3 lần số tuổi của em.

   Nhìn trên sơ đồ sẽ tìm được cách tính tuổi của em và tuổi của anh.Cũng có thể

tính số tuổi của anh trước rồi suy ra tuổi của em.

3. Vì trung bình cộng của hai số bằng 14 nên tổng của hai số đó bằng bao nhiêu?

   Hãy vẽ một đoạn thẳng biểu thị số thứ nhất, đoạn thẳng này được chia thành 3

phần đều nhau. Vẽ tiếp một đoạn thẳng khác biểu thị số thứ hai, đoạn thẳng này

gồm 4 phần như thế.

-Hãy đếm xem có tất cả mấy phần bằng nhau và tổng các phần đó bằng bao

nhiêu đơn vị ? Từ đó tính được mỗi số phải tìm

4. Vì trung bình cộng của ba số bằng 21 nên tổng của hai số đó bằng bao nhiêu?

-Hãy vẽ một đoạn thẳng biểu thị số thứ nhất ; vẽ đoạn thẳng thứ hai biểu thị số

thứ hai gồm hai phần bằng đoạn thẳng thứ nhất ; vẽ đoạn thẳng thứ ba gồm có 6

phần bằng đoạn thẳng thứ nhất. Hãy giải thích điều đó.

-Đếm xem cả ba số được biểu thị bởi mấy phần như thế ? Vì tổng ba số là số đã

biết nên từ đó tính được mỗi số phải tìm.

5. Hãy lập sơ đồ thứ nhất như sau : Vẽ một đoạn thẳng rồi chia đoạn thẳng đó

thành hai phần không bằng nhau, một phần biểu thị số cây của Phương và một

phần biểu thị số cây của Hà. Tổng số cây của hai bạn là 46 cây. Vẽ tiếp một

đoạn thẳng khác ngắn hơn đoạn thẳng trên rồi chia đoạn thẳng này thành hai

phần không bằng nhau, một phần biểu thị số cây của Phương và một phần biểu

thị số cây của Hiếu. Tổng số cây của hai đoạn này là 35 cây.

   Nhìn vào sơ đồ thấy số cây của Hà hơn số cây của Hiếu bao nhiêu cây ?

-Hãy lập sơ đồ thứ hai như sau : Vẽ một đoạn thẳng biểu thị số cây của Hà và

một đoạn thẳng khác biểu thị số cây của Hiếu. Ghi tổng số cây của hai bạn là 39

cây và hiệu số của hai bạn đó là 11 cây. Giải bài toán “tìm hai số khi biết tổng

và hiệu của chúng” thì tìm được số cây của Hiếu, của Hà. Từ kết quả đó tìm ra

được số cây của Phương.

   Nếu vẽ sơ đồ khác đi chút ít ( Xem ở phần lời giải )thì có thể giải bài toán theo

các bước sau đây :

Tính tổng số cây của cả ba bạn ?

Tính tổng số cây của mỗi bạn ?

6. Hãy lập sơ đồ như sau :

   Vẽ một đoạn thẳng rồi phân chia thành hai đoạn thẳng : một đoạn thằng ngắn

hơn biểu thị khối lượng của thùng, một đoạn thẳng dài hơn biểu thị khối lượng

dầu chứa trong thùng. Ở đoạn thẳng thứ hai phân chia thành ba phần đều nhau.

   Vẽ một đoạn thẳng khác rồi phân chia thành hai đoạn thẳng: một đoạn thẳng

ngắn hơn biểu thị khối lượng của thùng, một đoạn thẳng dài hơn đúng bằng hai

phần ba của số dầu.

  Dựa vào sơ đồ này tính được một phần ba số dầu, từ đó tính được số dầu chứa

trong thùng và khối lượng của thùng không có dầu.

7. Hãy lập sơ đồ sau :

 Vẽ đoạn thẳng AB, trên đó ghi điểm C ở giữa AB. Chia đoạn thẳng CB thành

ba phần đều nhau, trên đó ghi điểm D sao cho DB bằng một nửa CD.

-Tính xem quãng đường CD mà Giang ngủ bằng mấy phần của quãng đường CB

? Vì quãng đường CB bằng nửa quãng đường AB nên suy ra quãng đường CB

bằng mấy phần của quãng đường AB ?

8. Hãy lập sơ đồ sau :

   Vẽ đoạn thẳng AB biểu thị số lớn gồm có một phần biểu thị số bé và một phần

biểu thị 12 đơn vị. Kéo dài đoạn thẳng AB thêm hai đoạn thẳng là BC và CD

đều bằng A. Mỗi đoạn đều gồm có số bé và 12 đơn vị.

    Vẽ đoạn thẳng biểu thị số bé ở phía dưới đoạn thẳng AB

-Dựa trên sơ đồ nhận xét xem số 48 gồm có mấy lần số bé và thêm bao nhiêu

đơn vị nữa. Từ đó tính được mỗi số phải tìm

9. Hãy lập sơ đồ như sau :

Số thứ nhất được biểu thị bởi một đoạn thẳng

Số thứ hai được biểu thị bởi ba đoạn thẳng vẽ liền nhau, trong đó có hai đoạn

thẳng đều bằng đoạn thẳng thứ nhất và một đoạn thẳng chỉ một đơn vị.

Số thứ ba được biểu thị bởi ba đoạn thẳng vẽ liền nhau, trong đó có hai đoạn

thẳng đều bằng đoạn thẳng chỉ số thứ hai và một đoạn thẳng chỉ một đơn vị.

-Xét xem trên sơ đồ có tất cả mấy đoạn thẳng chỉ số thứ nhât và thêm mấy đơn

vị nữa ? Vì tổng của ba số là 74 nên có thể tính được mỗi số phải tìm

10. Hãy lập sơ đồ như sau :

Vẽ đoạn thẳng AB chỉ số nấm của anh. Trên AB lấy điểm C ở giữa AB, trên CB

lấy điểm D sao cho CD chỉ  1 cái nấm

Vẽ đoạn thẳng MN chỉ số nấm của anh. Trên MN lấy điểm P ở giữa Mn, trên PN

lấy điểm Q sao cho PQ chỉ 1 cái nấm

Dựa trên sơ đồ sẽ thấy được một số nấm của mỗi người, từ đó tính ra số nấm

phải tìm

 

 

Bài viết gợi ý: