Khi học phương trình vô tỉ ở lớp 8, trong vấn đề phương trình quy về bậc 2 các bạn đã làm quen với một loại phương trình mới,hiểu rõ hơn về biến đổi tương đương, được củng cố về phương trình bậc hai, ôn lại khái niệm căn số học và biến đổi căn thức, rèn luyện tính toán bằng số. Các bạn, ngay ở lớp 8, đã biết các phương pháp như: cô lập căn thức, nâng lên lũy thừa, nhân với nhân tử liên hợp, thông qua việc giải các bài tập trong sách giáo khoa Đại số lớp 8, các bạn biết thêm được một số phương pháp nữa là phương pháp đánh giá hai vế. Sau đây xin trình bày để các bạn biết được một vài phương pháp để giải phương trình vô tỉ nữa.

1. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình

$15x - 2x^{2} - 5 = \sqrt{2x^{2} - 15x + 11}$

Phương trình trên tương đương với:

$(2x^{2} - 15x +5) + \sqrt{2x^{2} - 15x +11} = 0$

Ta đặt $t = \sqrt{2x^{2} - 15x +11 }$ (ở đây t là giá trị căn số học nên $t \geq 0$. Ta có $t^{2} + t - 6 = 0 \Rightarrow t_{1} = 2; t_{2} = -3$ (loại)

Với $t = 2$, ta có:

$\sqrt{2x^{2}-15x+11}= 2

2x_{2}-15x+7= 0

x_{1}=7; x_{2}= \frac{1}{2}$

Sau khi thử nghiệm ta thấy $x_{1}=7; và  x_{2}= \frac{1}{2}$ đúng là nghiệm của phương trình đã cho.

Nếu không dùng phương pháp đặt ẩnn phụ thì các bạn sẽ phải bình phương một đa thức và phải giải một phương trình bậc 4.

Ví dụ 2: Giải phương trình

$\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}} + \sqrt{7+x+6\sqrt{x-2}}=2$

Ta có $\sqrt{(x-2)+2\sqrt{x-2}+1}+\sqrt{(x-2)+2.3\sqrt{x-2}+9}=2$

Đặt $t=\sqrt{x-2} (t \geq 0)$, ta sẽ viết được 

$\sqrt{t^{2}+2t+1}+\sqrt{t^{2}+6t+9}=2$

$\sqrt{(t+1)^2} + \sqrt{(t+3)^2}=2$

Ở đây, vì t dương nên $t+1$ và $t+3$ cũng đều dương, ta có:

$(t+1)+(t+3)=2\Rightarrow t=-1$

Như vậy phương trình đã cho vô nghiệm

2. Phương pháp phản chứng 

Các bạn đã biết phương pháp phản chứng ngay từ khi học lớp 6. Dùng phương pháp phản chứng để giải phương trình vô tỉ nhiều khi khá tốt. Chẳng hạn ta có thể giải phương trình đã cho trong ví dụ 2 ở trên bằng phương pháp phản chứng.

Đầu tiên, ta thấy, nếu phương trình có nghiệm là $x_{0}$ thì $x_{0}\geq 2$ để cho $x_{0}-2 \geq 0$ (số dưới căn bậc hai)

Ta có $\sqrt{x_{0}-1+2\sqrt{x_{0}-2}}+\sqrt{7+x_{0}+6\sqrt{x_{0}-2}} > \sqrt{7+x_{0}+6\sqrt{x_{0}-2}} > \sqrt{7} >2$

Điều này trở nên vô lí, vì nếu $x_{0}$ là nghiệm thì vế trái của phương trình phải bằng vế phải. Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Phương pháp hệ

Phương pháp hệ dùng để giải phương trình vô tỉ có dạng

$\sqrt{ax+b} \pm \sqrt{cx+d} = k (1)$

Ta có thể thử được dễ dàng đẳng thức sau đây:

$(\sqrt{ax+b}\pm \sqrt{cx+d})^2 = k^2=(\sqrt{\frac{c}{a}}.\sqrt{ax+b}\pm \sqrt{\frac{a}{c}}.\sqrt{cx+d})^2 + (a-c)(\frac{b}{a}-\frac{d}{c}) (2)$

Như vậy, việc giải (1) ta được đưa đến việc giải hệ: 

Ta sẽ tìm được $ax+b$ hoặc $cx+d$ và do đó sẽ xác định được $x$. Trong thực hành, khi đã quen thì việc thành lập (2) khá nhanh gọn.

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x+3} + \sqrt{2x-1} = 4$ 

Phân tích $(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3})^2=(\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1}+\sqrt{2}.\sqrt{x+3})^2-3,5=16$

Từ đó ta viết được

$\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1}+\sqrt{2}.\sqrt{x+3}=\sqrt{19,5}$

Sau khi nhân cả hai vế với $\sqrt{2}$, ta có:

$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+3}=\sqrt{39}$

$4+\sqrt{x+3}=\sqrt{39}\Rightarrow x=(52-8\sqrt{39})$

Thử lại phương trình đã cho, ta có $x=(52-8\sqrt{39})$ là nghiệm.

Ngoài ra, phương trình đã cho không có nghiệm nào khác vì

$\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1}+\sqrt{2}.\sqrt{x+3}=-\sqrt{19,5}$ là phương trình vô nghiệm (tổng của hai số dương không thể nào là số âm)

Ví dụ 4: Giải phương trình: $\sqrt{4x-2}+\sqrt{4x+2}=4$

Đây là trường hợp $a=c$ nên ta có:

$\frac{4}{\sqrt{4x+2}+\sqrt{4x-2}}=4 \Rightarrow \sqrt{4x+2}-\sqrt{4x-2}=1$

Cộng vế phương trình này với vế phương trình đã cho ta có:

$2\sqrt{4x+2}=5 \Rightarrow x=\frac{17}{16}$

*MỘT SỐ LƯU Ý QUAN TRỌNG

Khi giải các phương trình mà ẩn nằm ở trong dấu căn thức (pt vô tỉ), một số bạn do chưa nắm vững kiến thức về căn thức và các phép biến đổi tương đương nên thường mắc một số sai lầm. Bài viết này mong muốn giúp các bạn, đặc biệt là các học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào các trường THPT tránh được những sai lầm đó.

VD1: Giải phương trình $(x+3)\sqrt{x-1} = 0$

Lời giải SAI: 

Nhận xét: Rõ ràng x=-3 không phải là nghiệm của phương trình trên

Chú ý: 

VD2: Giải phương trình $\sqrt{x+4} = x+2$

Lời giải SAI

Nhận xét: Rõ ràng $x=-3$ không phải là nghiệm của phương trình trên

Chú ý: 

VD3: Giải phương trình $\sqrt{\frac{2x+5}{x-2}}=1$

Lời giải SAI

Vậy phương trình vô nghiệm

Nhận xét: Phương trình đã cho thực ra có nghiệm $x=-7$

Chú ý  

Với $(1)$ khi $A\leqslant 0; B <0$

Với $(2)$ khi $A\geq 0; B>0$

Lời giải trên đã bỏ sót 1 trường hợp $A\leq 0;B<0$ nên đã tìm thiếu nghiệm

Bài tập tự luyện 

1) Giải phương trình $\sqrt{4x^2+5x+1}+3=2\sqrt{x^2-x+1}+9x$

Hướng dẫn:

PT $\Leftrightarrow \sqrt{4x^2+5x+1}=\sqrt{4x^2-4x+4}+9x-3$

Đặt $\sqrt{4x^2+5x+1}=a \geq 0; \sqrt{4x^2-4x+4}=b \geq 0 \Rightarrow a^2 - b^2 =9x-3$

Do đó ta có $a=b + a^2 - b^2  \Leftrightarrow (a-b)(1-a-b)=0$ 

2) Giải phương trình $\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4) (2)$

Hướng dẫn:

Điều kiện là $x \geq 1$ hoặc $x \leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Gọi vế trái và vế phải của (3) thứ tự là A và B

Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho hai bộ số $(1,1,-x)$ và $(\sqrt{3x^2-1},\sqrt{x^2-x},\sqrt{x^2+1})$, ta có:

$A \leq \sqrt{(x^2+2)(5x^2-x)}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$. Do $x\geq 1$ hoặc $x \leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $5x^2-x >0$.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$B=\frac{1}{2\sqrt{2}}(5x^2-x+2(x^2+2)) \geq \frac{1}{2\sqrt{2}}2\sqrt{(5x^2-x)2(x^2+2)}=\sqrt{(5x^2-x)(x^2+2)}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$ và $x=\frac{4}{3}$

Vậy nghiệm của phương trình (2) là $x=-1$ 

3) Giải hệ phương trình 

4) Giải phương trình $4\sqrt{1-x^3}=21-25\sqrt{1-x}$

5) Giải phương trình $\sqrt{\frac{6}{3-x}}+\sqrt{\frac{8}{2-x}}=6$

6) Giải phương trình $\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$

 

Bài viết gợi ý: