PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN GIẢI NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN

I. Tại sao phải sử dụng?

Trong các bài toán tích phân có những bài toán vô cùng dài dòng nếu làm theo cách thông thường, nhưng nếu sử dụng phương pháp vi phân sẽ giúp bài toán trở nên tối ưu hơn rất nhiều. Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể dễ dàng sử dụng được phương pháp này.

II. Nội dung:

1.Nhắc lại về vi phân:

$d[f(x)]=f'(x)dx$

Chuyển sang khái niệm nguyên hàm, ta có thể hiểu:

“Nếu có một công thức trong bảng nguyên hàm là $\int{dx=x+C}$ thì tương ứng ta sẽ có $\int{d[f(x)]=f(x)+C}$”

Ví dụ đơn giản: I = $\int{\sin x\cos xdx}$ =?

Ta dễ dàng nhận thấy: $d(\cos x)=-\sin xdx$

Vậy có thể viết lại: I = $-\int{\cos xd(\cos x)}$

Theo lý thuyết trên, có thể thấy: I = $\frac{-{{\cos }^{2}}x}{2}+C$

2.Một số biến đổi vi phân cần nhớ:

Ngoài ra cần nhớ thêm công thức mở rộng: \[f'(x)dx=d[f(x)+C]\]

Ví dụ: $x\text{d}x=\frac{1}{2}\text{d}\left( {{x}^{2}} \right)$và cũng có thể $x\text{d}x=\frac{1}{2}\text{d}\left( {{x}^{2}}+1 \right)$

III. Bài tập minh họa:

Tìm các nguyên hàm

IV. Bài tập tự luyện

Tính tích phân:

ĐÁP ÁN:

\[1.\frac{2}{9}(6\sqrt{6}-5\sqrt{5})\] \[2.2\sqrt{2}-2\] \[3.\frac{1}{1001}\] \[4.\frac{1}{2}\ln \frac{5}{8}-\frac{3}{8}\] \[5.\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}\] \[6.\frac{3}{8}\sqrt[3]{\frac{81}{256}}\]

\[7.{{e}^{2}}-e\] \[8.\frac{1}{2019}\] \[9.\frac{1}{3}\] \[10.\frac{3}{2}\]