Phương pháp vi phân làm chủ nguyên hàm

PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM

LÝ THUYẾT

I.Vi phân của hàm số

Vi phân của hàm số \[y=f(x)\] được kí hiệu là \[dy\] và cho bởi \[dy=df(x)=y'dx=f'(x)dx\].

Ví dụ: \[d\left( \sin x+\cos x \right)=\left( \sin x+\cos x \right)'dx=\left( \cos x-\sin x \right)dx\]

II.Một số công thức vi phân quan trọng :

VÍ DỤ MINH HỌA :

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm \[\int{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx}\]:

A.\[\int{\frac{1}{\sin x+\cos x}}+C\] B.\[\frac{-1}{\sin x+\cos x}+C\]

C.\[\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C\] C.\[-\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C\]

Giải: \[\int{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx=-\int{\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}dx}}=-\int{\frac{\left( \sin x+\cos x \right)'}{\sin x+\cos x}dx}=-\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C\]

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm \[I=\int{\frac{x+1}{{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}}dx}\]

\[A.-\frac{1}{2}\ln \left| {{x}^{2}}+2x \right|+C\] \[B.\frac{-1}{2{{x}^{2}}+4x}+C\]

\[C.\frac{1}{{{x}^{2}}+2x}+C\] \[D.\frac{-2}{{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{3}}}+C\]

Giải: Ta có:\[\int{\frac{x+1}{{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x+2}{{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{d({{x}^{2}}+2x)}{{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}}}\]

\[\Rightarrow \int{\frac{du}{{{u}^{2}}}}=\frac{-1}{u}+C\Rightarrow I=\frac{-1}{2({{x}^{2}}+2x)}+C\]

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm \[I=\int{\frac{xdx}{\sqrt[3]{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}}}\]

\[A.\frac{3}{2}\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C\] \[B.\frac{3}{2}\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}+C\]

\[C.\frac{2}{3}\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}+C\] \[D.\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}+C\]

Giải: \[I=I=\int{\frac{xdx}{\sqrt[3]{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}}}=\frac{1}{2}I=\int{\frac{d({{x}^{2}}+1)}{\sqrt[3]{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}}}}=\frac{1}{2}.3{{({{x}^{2}}+1)}^{\frac{1}{3}}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}+C\]

Ví dụ 4: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=\frac{1+\sin x}{x-\cos x}\]

\[A.\ln \left| 2x-2\cos x \right|\] \[B.ln\left| x-\cos x \right|+1\]

\[C.\frac{1}{2}\ln {{\left( x-\cos x \right)}^{2}}\] \[D.\ln {{\left( 2x-2\cos x \right)}^{2}}\]

Giải: Ta có: \[F\left( x \right)=\int{\frac{1+\sin x}{x-\cos x}dx=}\int{\frac{\left( x-\cos x \right)'}{x-\cos x}dx=}\int{\frac{d\left( x-\cos x \right)}{x-\cos x}=}ln\left| x-\cos x \right|+C\]

Với \[C=\ln 2\Rightarrow F\left( x \right)=\ln \left| 2x-2\cos x \right|\]

Với \[C=1\Rightarrow F\left( x \right)=ln\left| x-\cos x \right|+1\]

Với \[C=0\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{1}{2}\ln {{\left( x-\cos x \right)}^{2}}\]

Đáp án sai là D . Chọn D

Ví dụ 5: Giả sử \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=\frac{1}{x{{(2+3\ln x)}^{2}}}\]. Biết rằng \[F\left( \frac{1}{e} \right)=1\]. Tìm \[F(x)\]:

\[A.F(x)=\frac{1}{9\ln x+6}+\frac{4}{3}\] \[B.F(x)=\frac{-1}{9\ln x+6}+\frac{2}{3}\]

\[C.F\left( x \right)=\frac{1}{3\ln x+2}+2\] \[D.F\left( x \right)=\frac{-1}{3\ln x+2}\]

Giải: Ta có \[F\left( x \right)=\int{\frac{1}{x{{(2+3\ln x)}^{2}}}dx=\int{\frac{d\left( \ln x \right)}{{{(2+3\ln x)}^{2}}}}}=\frac{1}{3}\int{\frac{d\left( 3\ln x+2 \right)}{{{(2+3\ln x)}^{2}}}}=\frac{-1}{3(3\ln x+2)}\]

Do \[F\left( \frac{1}{e} \right)=\frac{1}{3}+C=1\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{-1}{9\ln x+6}+\frac{2}{3}\]

Câu 6: Cho hàm số \[f\left( x \right)\]luôn dương và thỏa mãn \[f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}.f\left( x \right)\] với mọi \[x\in \mathbb{R}\]. Biết rằng\[f\left( 0 \right)=1\]. Giá trị của \[f\left( 1 \right)\]bằng:

A.1 B.\[\text{e}\] C.\[{{\text{e}}^{2}}\] D.\[{{e}^{3}}\]

Giải: Ta có \[f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}.f\left( x \right)\Leftrightarrow \frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=3{{x}^{2}}\]

Lấy nguyên hàm hai vế ta có : \[\int{\frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx=\int{3{{x}^{2}}dx\Leftrightarrow }}\int{\frac{df'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}={{x}^{3}}+C\]

\[\Leftrightarrow \ln \left[ f\left( x \right) \right]={{x}^{3}}+C\] (do \[f\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R}\])

Suy ra \[f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{3}}+C}}\]. Do \[f\left( 0 \right)={{e}^{C}}=1\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f\left( 1 \right)=e\]. Chọn B

Ví dụ 7: Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f\left( x \right).f'\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6x\]. Biết \[f\left( 0 \right)=2\]. Tính giá trị \[{{f}^{2}}\left( 2 \right)\]bằng:

A.114 B.100 C.64 D.81

Giải: Ta có \[f\left( x \right).f'\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}\Leftrightarrow \int{f\left( x \right).f'\left( x \right)dx=}\int{\left( 3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}} \right)}dx\]

\[\Leftrightarrow \int{f\left( x \right)d\left( f\left( x \right) \right)=}\frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}+C\Leftrightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}+C\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+2C\]

Mà \[f\left( 0 \right)=2\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 0 \right)=4\Rightarrow 2C=4\Rightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+4\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 2 \right)=100\]. Chọn B

Ví dụ 8: ( Đề thi THPTQG năm 2018) Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] thỏa mản \[f\left( 2 \right)=\frac{-2}{9}\] và \[f'\left( x \right)=2x\left[ f{{\left( x \right)}^{2}} \right]\] với mọi \[x\in \mathbb{R}\]. Giá trị của \[f\left( 1 \right)\]bằng :

A.\[\frac{-35}{16}\] B.\[\frac{-2}{3}\] C.\[\frac{-19}{36}\] D.\[\frac{-2}{15}\]

Giải: Ta có \[f'\left( x \right)=2x\left[ f{{\left( x \right)}^{2}} \right]\Rightarrow \frac{f'\left( x \right)}{f{{\left( x \right)}^{2}}}=2x\]

Lấy nguyên hàm hai về ta được: \[\int{\frac{f'\left( x \right)}{f{{\left( x \right)}^{2}}}dx}=\int{2x}dx\Leftrightarrow \int{\frac{df\left( x \right)}{f{{\left( x \right)}^{2}}}}={{x}^{2}}+C\Leftrightarrow \frac{-1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C\]

Mặt khác: \[f\left( 2 \right)=\frac{-2}{9}\Rightarrow C=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{-1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+\frac{1}{2}\to f\left( 1 \right)=-\frac{2}{3}\] . Chon B

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Câu 1. Biết \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\]và \[F\left( 0 \right)=1\]. Tính \[F\left( 1 \right)\]

A.\[\ln 2+1\] B.\[\frac{1}{2}\ln 2+1\] C.\[0\] D.\[\ln 2-2\]

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\]

A.\[\frac{1}{2}{{x}^{2}}\sqrt{1+{{x}^{2}}}+C\] B.\[\frac{1}{3}{{\left( {{x}^{2}}\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}^{3}}+C\] C.\[\frac{1}{3}{{\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}^{3}}+C\] D.\[\frac{1}{3}{{x}^{2}}\sqrt{1+{{x}^{2}}}+C\]

Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=\frac{\ln x}{2x}\]

\[A.\frac{{{\ln }^{2}}x}{4}+C\] \[B.\frac{{{\ln }^{2}}x}{2}+C\] \[C.\frac{{{\ln }^{2}}x}{4x}+C\] \[D.\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C\]

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=\left( \frac{1}{x}+\frac{x}{\ln x} \right)\ln x\]

\[A.{{\ln }^{2}}x+{{x}^{2}}+C\] \[B.\frac{{{\ln }^{2}}x+{{x}^{2}}}{2}+C\] \[C.\frac{{{\ln }^{2}}x}{2}+{{x}^{2}}+C\] \[D.\left( \ln x+\frac{{{x}^{2}}}{2\ln x} \right){{\ln }^{2}}x+C\]

Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=\frac{\ln x}{x}\]

\[A.{{\ln }^{2}}x+C\] \[B.\frac{1}{2}\ln x+C\] \[C.\frac{1}{2}{{\ln }^{2}}x+C\] \[D.\frac{1}{{{x}^{2}}}+C\]

Câu 6. Một nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\] thỏa \[F\left( 0 \right)=1\]. Tính \[{{\log }_{2}}\left[ F\left( -1 \right) \right]\] bằng:

\[A.\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[B.\frac{1}{2}\] \[C.\sqrt{2}\] \[D.2\]

Câu 7. Tìm hàm số \[y=f\left( x \right)\]. Biết rằng \[f'\left( x \right)=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\] và \[2f(-1)=3\]. Tìm \[f\left( x \right)\]:

\[A.\frac{{{\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}^{3}}}{3}+1\] \[B.\frac{1+{{x}^{2}}}{2}+1\] \[C.\frac{{{x}^{2}}{{\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}{2}-1\] \[D.\frac{{{\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)}^{3}}}{3}-1\]

Câu 8. Hàm số \[f\left( x \right)=\frac{x}{{{x}^{2}}+2}\] có một nguyên hàm là \[F\left( x \right)\] thỏa \[F\left( 1 \right)=\frac{3}{2}\ln 3\] . Tính \[{{e}^{F\left( \sqrt{7} \right)}}\]

A.3 B.9 C.27 D.81

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=\frac{1}{x\ln x+x}\].

Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{3{{x}^{2}}+2}}\]

\[A.\frac{1}{3}\sqrt{3{{x}^{2}}+2}+C\] \[B.-\frac{1}{3}\sqrt{3{{x}^{2}}+2}+C\] \[C.\frac{1}{6}\sqrt{3{{x}^{2}}+2}+C\] \[D.\frac{2\sqrt{3{{x}^{2}}+2}}{3}+C\]