Phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

A. Lý thuyết

I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

1. Phương trình bậc nhất

Cách giải và biện luận phương trình dạng \[ax+b=0\] được tóm tắt trong bảng sau

\[ax+b=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Hệ số		Kết luận
\[a\ne 0\]		\[\left( 1 \right)\] có nghiệm duy nhất \[x=-\frac{b}{a}\]
\[a=0\]	\[b\ne 0\]	\[\left( 1 \right)\] vô nghiệm
	\[b=0\]	\[\left( 1 \right)\] nghiệm đúng với mọi \[x\]

Khi \[a\ne 0\] phương trình \[ax+b=0\] được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau


\[\Delta ={{b}^{2}}-4ac\]	Kết luận
\[\Delta >0\]	\[\left( 2 \right)\] có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1,\,\,2}}=\frac{-\,b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\]
\[\Delta =0\]	\[\left( 2 \right)\] có nghiệm kép \[x=-\frac{b}{2a}\]
\[\Delta <0\]	\[\left( 2 \right)\] vô nghiệm

3. Định lí Vi–ét

Nếu phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\,\,\,\left( a\ne 0 \right)\] có hai nghiệm \[{{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\] thì

\[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}.\]

Ngược lại, nếu hai số \[u\] và \[v\] có tổng \[u+v=S\] và tích \[uv=P\] thì \[u\] và \[v\] là các nghiệm của phương trình

\[{{x}^{2}}-Sx+P=0.\]

II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.

Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1. Giải phương trình \[\left| x-3 \right|=2x+1.\,\] \[\left( 3 \right)\]

Giải

Cách 1

a) Nếu \[x\ge 3\] thì phương trình \[\left( 3 \right)\] trở thành \[x-3=2x+1.\] Từ đó \[x=-\,4.\]

Giá trị \[x=-\,4\] không thỏa mãn điều kiện \[x\ge 3\] nên bị loại.

b) Nếu \[x<3\] thì phương trình \[\left( 3 \right)\] trở thành \[-\,x+3=2x+1.\] Từ đó \[x=\frac{2}{3}.\]

giá trị này thỏa mãn điều kiện \[x<3\] nên là nghiệm.

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là \[x=\frac{2}{3}.\]

Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình \[\left( 3 \right)\] ta đưa tới phương trình hệ quả

Phương trình cuối có hai nghiệm là \[x=-\,4\] và \[x=\frac{2}{3}.\]

Thử lại ta thấy phương trình \[\left( 3 \right)\] chỉ có nghiệm là \[x=\frac{2}{3}.\]

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

Ví dụ 2. Giải phương trình \[\sqrt{2x-3}=x-2.\] \[\left( 4 \right)\]

Giải. Điều kiện của phương trình \[\left( 4 \right)\] là \[x\ge \frac{3}{2}.\]

Bình phương hai vế của phương trình \[\left( 4 \right)\] ta đưa tới phương trình hệ quả

Phương trình cuối có hai nghiệm là \[x=3+\sqrt{2}\] và \[x=3-\sqrt{2}.\] Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình \[\left( 4 \right),\] nhưng khi thay vào phương trình \[\left( 4 \right)\] thì giá trị \[x=3-\sqrt{2}\] bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị \[x=3+\sqrt{2}\] là nghiệm (hai vế cùng bằng \[\sqrt{2}+1\]).

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình \[\left( 4 \right)\] là \[x=3+\sqrt{2}.\]

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Giả sử phương trình \[{{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+2=0\] ($m$ là tham số) có hai nghiệm là \[{{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\]. Tính giá trị biểu thức \[P=3{{x}_{1}}{{x}_{2}}-5\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\] theo $m.$

A. $P=3{{m}^{2}}-10m+6.$ B. $P=3{{m}^{2}}+10m-5.$

C. $P=3{{m}^{2}}-10m+1.$ D. $P=3{{m}^{2}}+10m+1.$

Giải:

Theo định lý Viet, ta có

Thay vào $P$, ta được \[P=3\left( {{m}^{2}}+2 \right)-5\left( 2m+1 \right)=3{{m}^{2}}-10m+1.\]

Chọn C

Câu 2: Tập nghiệm $S$ của phương trình \[2x+\frac{3}{x-1}=\frac{3x}{x-1}\] là:

A. \[S=\left\{ 1;\frac{3}{2} \right\}.\] B. \[S=\left\{ 1 \right\}.\] C. \[S=\left\{ \frac{3}{2} \right\}.\] D. \[S=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\]

Giải:

Điều kiện \[x\not{=}1.\]

Khi đó phương trình \[\Leftrightarrow 2x+\frac{3}{x-1}=\frac{3x}{x-1}\Leftrightarrow 2x=\frac{3\left( x-1 \right)}{x-1}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] thỏa điều kiện

\[\xrightarrow{{}}S=\left\{ \frac{3}{2} \right\}.\]

Chọn C

Câu 3: Phương trình ${{\left( x+1 \right)}^{2}}-3\left| x+1 \right|+2=0$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.

Giải:

Đặt $t=\left| x+1 \right|$, $\,t\ge 0$.

Phương trình trở thành ${{t}^{2}}-3t+2=0\Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=2$.

· Với $t=1$ ta có $\left| x+1 \right|=1\Leftrightarrow x+1=\pm 1\Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=0$.

· Với $t=2$ ta có $\left| x+1 \right|=2\Leftrightarrow x+1=\pm 2\Leftrightarrow x=-3$ hoặc $x=1$.

Vậy phương trình có bốn nghiệm là \[x=-3,\,\text{ }x=-2,\,\text{ }x=0,\text{ }x=1.\]

Chọn D

Câu 4: Với giá trị nào của $a$ thì phương trình \[3\left| x \right|+2ax=-1\] có nghiệm duy nhất?

A. \[a>\frac{3}{2}.\] B. \[a<\frac{-3}{2}.\] C. \[a\ne \frac{3}{2}\wedge a\ne \frac{-3}{2}.\] D. \[a<\frac{-3}{2}\vee a>\frac{3}{2}.\]

Giải:

Dễ thấy, $x=0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

Xét $x\in \left( -\infty ;0 \right)$:

Phương trình trở thành $-3x+2ax=-1\Leftrightarrow \left( 2a-3 \right)x=-1\ \ \ \ \left( 1 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất khi $2a-3\ne 0\Leftrightarrow a\ne \frac{3}{2}$. Khi đó, nghiệm của phương trình là $x=\frac{-1}{2a-3}$. Mà $x<0\Rightarrow \frac{-1}{2a-3}<0\Leftrightarrow 2a-3>0\Leftrightarrow a>\frac{3}{2}$.

Xét

Phương trình trở thành $3x+2ax=-1\Leftrightarrow \left( 2a+3 \right)x=-1\ \ \ \ \left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất khi $2a+3\ne 0\Leftrightarrow a\ne -\frac{3}{2}$. Khi đó, nghiệm của phương trình là $x=\frac{-1}{2a+3}$. Mà $x>0\Rightarrow \frac{-1}{2a+3}>0\Leftrightarrow 2a+3<0\Leftrightarrow a<-\frac{3}{2}$.

Chọn D

Câu 5: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để phương trình \[\left| x \right|+1={{x}^{2}}+m\] có nghiệm duy nhất.

A. $m=0.$ B. $m=1.$ C. $m=-1.$ D. Không có $m.$

Giải:

Phương trình $\Leftrightarrow {{\left| x \right|}^{2}}-\left| x \right|+\left( m-1 \right)=0$

Đặt $t=\left| x \right|,\ t\ge 0$, phương trình trở thành ${{t}^{2}}-t+m-1=0\ \ \ \ \left( * \right)$

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow $ $\left( * \right)$ có nghiệm duy nhất $t=0$.

Với $t=0$ là nghiệm của phương trình $\left( * \right)\Rightarrow {{0}^{2}}-0+m-1=0\Leftrightarrow m=1$.

Thử lại, thay $m=1$ vào phương trình $\left( * \right)$, thấy phương trình có 2 nghiệm $t=0$ và $t=1$: Không thỏa mãn.

Chọn D

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình \[{{x}^{2}}+\frac{4}{{{x}^{2}}}-4\left( x-\frac{2}{x} \right)+m-1=0\] có đúng hai nghiệm lớn hơn $1.$

A. $m<-8.$ B. C. D. $m\le -8.$

Giải:

Đặt

Phương trình $\left( * \right)$ có $ac<0$ nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi $t\in \mathbb{R}.$ Do đó $\left( * \right)$ nếu có nghiệm lớn hơn $1$ thì có duy nhất một nghiệm như thế

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}\Leftrightarrow g\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow -t-1<0\Leftrightarrow t>-1.$

Mặt khác phương trình đã cho trở thành $f\left( t \right)={{t}^{2}}-4t+m+3=0\,\,\left( ** \right).$ Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ lớn hơn $1$ khi và chỉ khi $\left( ** \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},\,\,{{t}_{2}}$ lớn hơn $-1,$ hay

Chọn B

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình \[{{\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}^{2}}2m\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)+4m1=0\] có đúng hai nghiệm.

Giải:

Ta có \[{{\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}^{2}}2m\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)+4m1=0.\] \[\left( 1 \right)\]

Đặt $t={{x}^{2}}+2x+4\Rightarrow {{x}^{2}}+2x+4-t=0.$ $\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $g\left( t \right)={{t}^{2}}-2mt+4m-1=0.$ $\left( 3 \right)$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm khi ${{{\Delta }'}_{\left( 2 \right)}}=t-3\ge 0\Leftrightarrow t\ge 3$. Khi $t=3$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm kép $x=-1$.

Phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng hai nghiệm khi:

$\bullet $ TH1: Phương trình $\left( 3 \right)$ có nghiệm kép lớn hơn $3$.

Phương trình $\left( 3 \right)$ có nghiệm kép khi ${{{\Delta }'}_{\left( 3 \right)}}={{m}^{2}}-4m+1=0\Leftrightarrow m=2\pm \sqrt{3}$.

Với $m=2-\sqrt{3}\ \ \xrightarrow{{}}$ Phương trình $\left( 3 \right)$ có nghiệm $t=2-\sqrt{3}<3$: Không thỏa mãn.

Với $m=2+\sqrt{3}\ \ \xrightarrow{{}}$ Phương trình $\left( 3 \right)$ có nghiệm $t=2+\sqrt{3}>3$: Thỏa mãn.

$\bullet $ TH2: Phương trình $\left( 3 \right)$ có 2 nghiệm ${{t}_{1}},\ {{t}_{2}}$ thỏa mãn ${{t}_{1}}<3<{{t}_{2}}$

Hợp hai trường hợp ta được $m\in \left( 4;+\infty \right)\cup \left\{ 2+\sqrt{3} \right\}$.

Chọn C

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{2}}+2mx+2m\left| x+m \right|+{{m}^{2}}+3-2m=0$ có nghiệm.

Giải:

Ta có ${{x}^{2}}+2mx+2m\left| x+m \right|+{{m}^{2}}+3-2m=0\Leftrightarrow {{\left( \left| x+m \right|+m \right)}^{2}}={{m}^{2}}+2m-3$

$\bullet $ Nếu $m\le -3$, thì $\sqrt{{{m}^{2}}+2m-3}-m\ge 0,$ suy ra (2) có nghiệm, do đó phương trình đã cho có nghiệm.

$\bullet $ Nếu $m\ge 1$ thì (1) vô nghiệm, do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và và chỉ khi (2) có nghiệm $\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+2m-3}-m\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3\ge {{m}^{2}}\Leftrightarrow m\ge \frac{3}{2}.$

Vậy

Chọn B

C. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( {{m}^{2}}-4 \right)x=3m+6$ vô nghiệm.

A. $m=1.$ B. $m=2.$ C. $m=\pm 2.$ D. $m=-2.$

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $mx-m=0$ vô nghiệm.

A. $m\in \varnothing .$ B. $m=\left\{ 0 \right\}.$ C. $m\in {{\mathbb{R}}^{+}}.$ D. $m\in \mathbb{R}.$

Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( {{m}^{2}}-5m+6 \right)x={{m}^{2}}-2m$ vô nghiệm.

A. $m=1.$ B. $m=2.$ C. $m=3.$ D. $m=6.$

Câu 4. Cho phương trình ${{\left( m+1 \right)}^{2}}x+1=\left( 7m-5 \right)x+m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình đã cho vô nghiệm.

A. $m=1.$ B. $m=2;\text{ }m=3.$ C. $m=2.$ D. $m=3.$

Câu 5. Cho hai hàm số $y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m$ và $y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau.

A. $m=2.$ B. $m=-2.$ C. $m=\pm 2.$ D. $m=1.$

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( 2m-4 \right)x=m-2$ có nghiệm duy nhất.

A. $m=-1.$ B. $m=2.$ C. $m\ne -1.$ D. $m\ne 2.$

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -10;10 \right]$ để phương trình \[\left( {{m}^{2}}-9 \right)x=3m\left( m-3 \right)\] có nghiệm duy nhất ?

A. $2.$ B. $19.$ C. $20.$ D. $21.$

Câu 8. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -5;10 \right]$ để phương trình \[\left( m+1 \right)x=\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)x+m-1\] có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong $S$ bằng:

A. $15.$ B. $16.$ C. $39.$ D. $40.$

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( {{m}^{2}}+m \right)x=m+1$ có nghiệm duy nhất $x=1.$

A. $m=-1.$ B. $m\ne 0.$ C. $m\ne -1.$ D. $m=1.$

Câu 10. Cho hai hàm số $y={{\left( m+1 \right)}^{2}}x-2$ và $y=\left( 3m+7 \right)x+m$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.

A. $m\ne -2.$ B. $m\ne -3.$

C. $m\ne -2;\ m\ne 3.$ D. $m=-2;\ m=3.$

Đáp án bài tập tự luyện