1. Định nghĩa
a) Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó:
Góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), kí hiệu \(\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\) và \(\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \widehat {AOB}\).
.png)
Quy ước: Nếu $\overrightarrow a = \overrightarrow 0$ hoặc $\overrightarrow b = \overrightarrow 0$ thì ta xem góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là tùy ý (từ \({0^0}\) đến \({180^0}\)).
b) Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số thực được xác định bởi: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.
2. Tính chất
Với ba véc tơ bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) và mọi số thực $k$ ta luôn có:
$\begin{array}{l}1){\rm{ }}\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a \\2){\rm{ }}\overrightarrow a (\overrightarrow b \pm \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b \pm \overrightarrow a .\overrightarrow c \\3){\rm{ }}(k\overrightarrow a )\overrightarrow b = k(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a (k\overrightarrow b )\\4){\rm{ }}{\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \end{array}$
Ta có kết quả sau:
+ Nếu hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) thì $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$
+ $\overrightarrow a .\overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$ gọi là bình phương vô hướng của véc tơ \(\overrightarrow a \).
+ ${(\overrightarrow a \pm \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} \pm 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}, {\rm{ }}(\overrightarrow a + \overrightarrow b )(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}$
