[TOÁN 12] Cực Trị Hàm Số

CỰC TRỊ HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và ${{x}_{0}}\in D$

- Nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x₀ sao cho $(a;b)\subset D$ và f(x) < f(x₀) với mọi $x\in (a;b)/\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀ và f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

- Nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x₀ sao cho $(a;b)\subset D$ và f(x) > f(x₀) với mọi $x\in (a;b)/\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{x}_{0}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀ và f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

2. Điều kiện cần để có cực trị

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x₀. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x₀ thì f’(x₀) = 0

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên K

- Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x₀ thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

- Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x₀ thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1: TÌm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

*Quy tắc 2:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) và kí hiệu x_ilà các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính f’’(x) và f’’(x_i).

Bước 4: Dựa vào dấu của f’’(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

5. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d(a\ne 0)$

Ta có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

-Đồ thị hàm số của hai điểm cực trị khi y’=0 có hai nghiệm phân biệt

$\leftrightarrow {{b}^{2}}-3ac>0$ . Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là:

$y=(\frac{2c}{3}-\frac{2{{b}^{2}}}{9a})x+d-\frac{bc}{9a}$

-CASIO tìm ra đường thẳng qua hai điểm cực trị:

\[a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d-(3a{{x}^{2}}+2bx+c)(\frac{x}{3}+\frac{b}{9a})\]

cho x=i $\to Ai+B\to y=Ax+B$

Hoặc sử dụng công thức $y-\frac{y'.y''}{18a}$

-Khoảng cách giữa hai điểm cực trị hàm bậc 3 là:

$AB=\sqrt{\frac{4e+16{{e}^{3}}}{a}}$ với $e=\frac{{{b}^{2}}-3ac}{9a}$

6. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương

Cho hàm số:

Giả sử A(0;c) là điểm cực trị thuộc trục tung

Khi đó $AB=AC=\sqrt{\frac{{{b}^{4}}}{16{{a}^{2}}}-\frac{b}{2a}},BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}}$

*Các kết quả cần nắm

+ ∆ABC vuông cân $\Leftrightarrow \frac{{{b}^{3}}}{8a}+1=0$

+ ∆ABC đều $\Leftrightarrow \frac{{{b}^{3}}}{8a}+3=0$

+ $\angle BAC=\alpha$ , ta có

+ ${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|}\sqrt{-\frac{b}{2a}}$

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là $R=\frac{{{b}^{3}}-8a}{8\left| a \right|b}$

+ Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC là $r=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|+\sqrt{16{{a}^{2}}-2a{{b}^{3}}}}$

+ Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\left( \frac{2}{b}-\frac{\vartriangle }{4a}+c \right)y+c\left( \frac{2}{b}-\frac{\vartriangle }{4a} \right)=0$

B. VÍ DỤ

VD 1: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-4x+1}{x+1}.$ Hàm số có 2 điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ .Tích ${{x}_{1}}{{x}_{2}}$ bằng

A.1

B.-5

C.-1

D.-4

HD: Ta có $y'=\frac{(2x-4)(x+1)-{{x}^{2}}+4x-1}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-5}{{{(x+1)}^{2}}}$

Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-2x-5=0$ khi đó theo Vi-ét ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-5\to B$

VD 2: Số điểm cực trị của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3$ là

A.1

B.2

C.3

D.4

HD: Hàm bậc 4 trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có 3 cực trị khi a,b trái dấu

Ta thấy 1.(-2) <0 nên hàm đã cho có 3 cực trị => C

VD 3: Hàm số có $y'={{(x+2)}^{2}}{{(x-3)}^{3}}$ có mấy điểm cực trị

A.1

B.2

C.3

D.0

HD: Ta thấy nhưng y’ chỉ đổi dấu khi đi qua điểm x=3 => Hàm số đã cho có 1 điểm cực trị

VD 4: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x-3}$ . Hàm số có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ .Tổng ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ bằng:

A.-6

B.3

C.6

D.7

HD: Ta có $y'=\frac{(2x+2)(x-3)-{{x}^{2}}-2x-1}{{{(x-3)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-6x-7}{{{(x-3)}^{2}}}$

Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-6x-7=0$ . Theo Vi-ét ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6$

=>C

VD 5: Với giá trị nào của tham số m, hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3$

A.$m=\frac{3}{2}$

B.$m=-\frac{3}{2}$

C.m=3

B.m=-3

HD: Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x+m$ . Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình

$3{{x}^{2}}-6x+m=0$ . Theo Vi-ét, ta có:

Ta có: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow 4-\frac{2m}{3}=2\Leftrightarrow m=3$

=>C

C. BÀI TẬP

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ

Đồ thị trên có mấy điểm cực trị?

A.2

B.1

C.0

D.3

Câu 2: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.Hàm số đạt cực đại tại x=2

B.Hàm số đạt cực đại tại x=3

C.Hàm số đạt cực đại tại x=4

D.Hàm số đạt cực đại tại x=-2

Câu 3: Biết đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ có hai điểm cực trị A, B. Khi đó phương trình đường thẳng AB là:

A.y = x - 2

B.y = 2x – 1

C.y = -2x + 1

D.y = -x + 2

Câu 4: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+3x+3}{x+2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức ${{M}^{2}}-2n$ bằng:

A.8

B.7

C.9

D.6

Câu 5: Cho hàm số $y=f(x)=\left| {{x}^{2}}-2x-4 \right|$ có đồ thị như hình vẽ

Hàm số $y=f(x)$ có mấy cực trị?

A.4

B.1

C.3

D.2

Câu 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)=x\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$ . Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$

A.0

B.1

C.2

D.3

Câu 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)={{x}^{4}}{{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}$ . Tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$

A.0

B.1

C.2

D.3

Câu 8: Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số k để hàm số $y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\left( {{k}^{2}}-3k \right){{x}^{2}}-12x+1$ đạt cực tiểu tại $x=2$

A.$\left\{ 2 \right\}$

B.$\varnothing $

C.$\left\{ 1 \right\}$

D.$\left\{ 1,2 \right\}$

Câu 9: Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số k để hàm số \[y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{\left( {{k}^{2}}-5k \right){{x}^{2}}}{2}+\left( 5-2k \right)x+2\] đạt cực tiểu tại 1

A.\[\left\{ 1 \right\}\]

B.$\varnothing $

C.\[\left\{ 6 \right\}\]

D.\[\left\{ 1,6 \right\}\]

Câu 10: Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)x+\frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1$

A.\[\left\{ 0,\frac{2}{3} \right\}\]

B.\[\left\{ 0 \right\}\]

C.\[\left\{ \frac{2}{3} \right\}\]

D.$\varnothing $

ĐÁP ÁN