ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
A/ LÝ THUYẾT
I/ Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ , ${{x}_{0}}\in \left( a;b \right)$ . Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ khi $x\to {{x}_{0}}$ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại ${{x}_{0}}$ , kí hiệu là $f'({{x}_{0}})$ hay $y'({{x}_{0}})$ . Như vậy:
$f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$
Nếu đặt $\vartriangle x=x-{{x}_{0}}$ và $\vartriangle y=f({{x}_{0}}+\vartriangle x)-f({{x}_{0}})$ thì ta có:
$f'({{x}_{0}})=\underset{\vartriangle x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\vartriangle y}{\vartriangle x}$
Đại lượng $\vartriangle x$ được gọi là số gia của đối số tại ${{x}_{0}}$ và đại lượng $\vartriangle y$ được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
II/ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1: Với $\vartriangle x$ là số gia của đối số tại ${{x}_{0}}$ , tính $\vartriangle y=f({{x}_{0}}+\vartriangle x)-f({{x}_{0}})$
Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\vartriangle y}{\vartriangle x}$
Bước 3: Tính $\underset{\vartriangle x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\vartriangle y}{\vartriangle x}$
Chú ý: Nếu thay ${{x}_{0}}$ bởi x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x\in \left( a;b \right)$
III/ Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm
Định lí: Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ thì nó liên tục tại ${{x}_{0}}$
Chú ý:
+ Định lí trên tương đương với khẳng định: Nếu $y=f(x)$ gián đoạn tại ${{x}_{0}}$ thì nó không có đạo hàm tại điểm đó
+ Mệnh đề đảo của định lí không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó
IV/ Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Nếu tồn tại $f'({{x}_{0}})$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$ . Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm ${{M}_{0}}({{x}_{0}};f({{x}_{0}}))$là:
$y-f({{x}_{0}})=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$
.png)
V/ Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
$v(t)=s'(t)$ là vận tốc tức thời của chuyển động $s=s(t)$ tại thời điểm t
$a(t)=v'(t)$ là gia tốc tức thời của chuyển động $s=s(t)$ tại thời điểm t
Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình $Q=f\left( t \right)$ , với $f\left( t \right)$ là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm ${{t}_{0}}$ là đạo hàm của hàm số $Q=f\left( t \right)$ tại ${{t}_{0}}$
$I\left( {{t}_{0}} \right)=Q'\left( {{t}_{0}} \right)=f'\left( {{t}_{0}} \right)$
VI/ Các dạng toán cơ bản
1/ Dạng 1: Tính đạo hàm bằng công thức
VD: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ tại điểm ${{x}_{0}}=2$
Giải:
Giả sử $\vartriangle x$ là số gia của đối số tại ${{x}_{0}}=2$ . Ta có:
$\vartriangle y=f(2+\vartriangle x)-f(2)=\frac{1}{2+\vartriangle x}-\frac{1}{2}=-\frac{\vartriangle x}{2(2+\vartriangle x)}$
$\frac{\vartriangle y}{\vartriangle x}=-\frac{1}{2(2+\vartriangle x)}$
\[\underset{\vartriangle x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\vartriangle y}{\vartriangle x}=\underset{\vartriangle x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{2(2+\vartriangle x)}=-\frac{1}{4}\]
Vậy $f'(2)=-\frac{1}{4}$
2/ Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức về đạo hàm
VD 1: Cho $y={{e}^{-x}}.\sin x$. Chứng minh $y''+2y'+2y=0$
Giải:
Ta có:
$y'=-{{e}^{-x}}.\sin x+{{e}^{-x}}\cos x$
$y''={{e}^{-x}}\sin x-{{e}^{-x}}\cos x-{{e}^{-x}}\cos x-{{e}^{-x}}\sin x=-2{{e}^{-x}}\cos x$
$\Rightarrow y''+2y'+2y=-2{{e}^{-x}}\cos x-2{{e}^{-x}}\sin x+2{{e}^{-x}}\cos x+2{{e}^{-x}}\sin x=0$
Vậy $y''+2y'+2y=0$
VD 2: Cho $y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{x}}$ . Chứng minh $y''-2y'+y={{e}^{x}}$
Giải:
Ta có:
$y'=x{{e}^{x}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{x}}$
$y''={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}+x{{e}^{x}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{x}}={{e}^{x}}+3x{{e}^{x}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{x}}$
$\Rightarrow y''+2y'+y={{e}^{x}}+2x{{e}^{x}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{x}}-{{x}^{2}}{{e}^{x}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}{{e}^{x}}={{e}^{x}}$
Vậy $y''-2y'+y={{e}^{x}}$
3/ Dạng 3: Phương trình và bất phương trình có đạo hàm
VD 1: Cho $f(x)={{x}^{3}}\ln x$ . Giải phương trình: $f'(x)-\frac{1}{x}f(x)=0$ (1)
Giải:
Điều kiện: x > 0
Ta có: $f'(x)=3{{x}^{2}}\ln (x)+{{x}^{3}}.\frac{1}{x}=3{{x}^{2}}\ln x+{{x}^{2}}$
$(1)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}\ln x+{{x}^{2}}-{{x}^{2}}\ln x=0$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}\ln x+{{x}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}(2\ln x+1)=0$
$\Leftrightarrow 2\ln x+1=0$
$\Leftrightarrow \ln x=-\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow x={{e}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$
VD 2: Cho $f(x)=2{{x}^{2}}{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}$ và $g(x)=x-{{x}^{2}}\operatorname{s}\text{inx}$ . Giải phương trình: $f'(x)=g(x)$ (1)
Giải:
Ta có:
$f'(x)=4x{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-{{x}^{2}}\sin x$
$(1)\Leftrightarrow 4x{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-{{x}^{2}}\sin x=x-{{x}^{2}}\sin x$
$\Leftrightarrow 4x{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}=x$
.png)
.png)
4/ Dạng 4: Đạo hàm cấp cao
VD: Cho $f(x)=\frac{5x-3}{{{x}^{2}}-3x+2}$ . Tìm ${{f}^{(n)}}(x)$
Giải:
Ta có: $f(x)=\frac{5x-3}{{{x}^{2}}-3x+2}=\frac{5x-3}{(x-1)(x-2)}=\frac{(-2x+4)+(7x-7)}{(x-1)(x-2)}=\frac{-2}{x-1}+\frac{7}{x-2}$ $\Rightarrow {{f}^{(n)}}(x)=-2{{\left( \frac{1}{x-1} \right)}^{(n)}}+7{{\left( \frac{1}{x-2} \right)}^{(n)}}$
$=7{{(-1)}^{n}}n!\frac{1}{{{(x-2)}^{n+1}}}-2(-1)n!\frac{1}{{{(x-1)}^{n+1}}}$
$={{(-1)}^{n}}n!\left[ \frac{7}{{{(x-2)}^{n+1}}}-\frac{2}{{{(x-1)}^{n+1}}} \right]$
5/ Dạng 5: Bài toàn sử dụng định nghĩa đạo hàm
VD 1: Cho hàm số .png)
có tồn tại đạo hàm của $f(x)$ tại $x=0$ hay không?
Giải:
Ta có: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}{x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}.\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sin \frac{x}{2}=1.0=0$
Vì $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne f(0)$ nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại x = 0 suy ra hàm số $f(x)$ không có đạo hàm tại điểm x = 0
VD 2: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên R và thõa mãn:
${{(f(x)-f(y))}^{2}}\le {{\left| x-y \right|}^{3}}$ ,mọi $x,y\in R$
Chứng minh răng hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên R
Giải:
Lấy ${{x}_{0}}$ tùy ý thuộc R, ta có:
${{\left( f\left( {{x}_{0}}+\vartriangle x \right)-f({{x}_{0}}) \right)}^{2}}\le {{\left| {{x}_{0}}+\vartriangle x-{{x}_{0}} \right|}^{3}}$
$\Leftrightarrow {{\left( \frac{f({{x}_{0}}+\vartriangle x)-f({{x}_{0}})}{\vartriangle x} \right)}^{2}}\le \left| \vartriangle x \right|$
$\Leftrightarrow -\sqrt{\left| \vartriangle x \right|}\le \frac{f({{x}_{0}}+\vartriangle x)-f({{x}_{0}})}{\vartriangle x}\le \sqrt{\left| \vartriangle x \right|}$
Do $\underset{\vartriangle x\to x}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\left| \vartriangle x \right|}=\underset{\vartriangle x\to x}{\mathop{\lim }}\,\left( -\sqrt{\left| \vartriangle x \right|} \right)=0$ nên theo “nguyên lí kép” ta có:
$\underset{\vartriangle x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{o}}+\vartriangle x)-f({{x}_{0}})}{\vartriangle x}=0$
Vậy tồn tại đạo hàm của $f(x)$ tại ${{x}_{0}}$
B/ BÀI TẬP
Bài 1: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$ có đồ thị là $\left( C \right)$ . Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( -1;3 \right)$ là:
A.$y=-3x+6$
B.$y=3x+6$
C.$y=-3x$
D.$y=6x-3$
Bài 2: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$ có đồ thị là $\left( C \right)$ . Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
A.$y=24x+3$
B.$y=24x-27$
C.$y=2x-27$
D.$y=24x$
Bài 3: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+1\left( 1 \right)$ , m là tham số thức. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thi hàm số (1) tại điểm có hoành độ $x=-1$ đi qua điểm $A\left( 1;2 \right)$
A.$m=3$
B.$m=\frac{5}{8}$
C.$m=-\frac{5}{8}$
D.$m=-2$
Bài 4: Cho hàm số $y=\frac{3x+1}{x+1}$ . Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm $M\left( -2;5 \right)$
A.$-\frac{81}{4}$
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{81}{4}$
Bài 5: Cho đường cong $\left( C \right):y=\frac{3x+1}{1-x}$ . Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):x-4y-21=0$ là:
A.$$ $y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$
B.$y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$
C.$y=\frac{1}{4}x$
D.$y=-\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}$
Bài 6: Gọi $\left( {{C}_{m}} \right)$ là đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{m}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}$ . Gọi M là điểm thuộc $\left( {{C}_{m}} \right)$ có hoành độ bằng -1. Giá trị của m để tiếp tuyến của $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại M song song với đường thẳng $5x-y=0$ là:
A.$m=-4$
B.$m=4$
C.$m=2$
D.$m=-2$
Bài 7: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+5$ . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thi đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là:
A.$y=12x+4$
B.$y=-12x-4$
C.$y=-12x+4$
D.$y=12x-4$
Bài 8: Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2x+3}$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O là:
A.$y=-2x$
B.$y=-x$
C.$y=x-2$
D.$y=-x-2$
Bài 9: Cho đường cong $\left( C \right):y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ . Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết nó đi qua điểm $A\left( -1;-4 \right)$ là:
A.$y=9x+5$
B.$y=9x-3$
C.$y=-9x+1$
D.$y=9x$
Bài 10: Cho hàm số $\left( C \right):y=\frac{x+2}{x-2}$ . Phương trình tiếp tuyến đi qua $A\left( -6;5 \right)$ của đồ thị $\left( C \right)$ là:
A.$y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}$
B.$y=-\frac{1}{4}x$
C.$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$
D.$y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}$
ĐÁP ÁN
.png)
