ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A/ LÝ THUYẾT
I/ Phương trình một ẩn
+ Phương trình một ẩn số x là mệnh đề chứa biến có dạng:
$f\left( x \right)=g\left( x \right)$ $\left( 1 \right)$
Trong đó $f(x),g\left( x \right)$ là các biểu thức cùng biến số x. Ta gọi $f\left( x \right)$ là vế trái, $g\left( x \right)$ là vế phải của phương trình.
+ Điều kiện xác định của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.
+ Nếu có số ${{x}_{0}}$ thõa mãn điều kiện xác định và $f\left( {{x}_{0}} \right)=g\left( {{x}_{0}} \right)$ là mệnh đề đúng thì ta nói số ${{x}_{0}}$ là nghiệm đúng của phương trình $\left( 1 \right)$ hay ${{x}_{0}}$ là một nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ . Một phương trình có thể có nghiệm, có thể vô nghiệm.
II/ Phương trình tương đương
Hai phương trình:
${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)$ $\left( 1 \right)$
${{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$ $\left( 2 \right)$
Được gọi là tương đương đương, kí hiệu ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\Leftrightarrow {{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$ nếu các tập nghiệm của $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ bằng nhau.
Định lí:
+ Nếu $h\left( x \right)$ là biểu thức thõa mãn điều kiện xác định của phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ thì $f\left( x \right)+h\left( x \right)=g\left( x \right)+h\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)$
+ Nếu $h\left( x \right)$ thõa mãn điều kiện xác định và khác 0 với mọi x thõa mãn điều kiện xác định thì $f\left( x \right).h\left( x \right)=g\left( x \right).h\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)$
$\frac{f\left( x \right)}{h\left( x \right)}=\frac{g\left( x \right)}{h\left( x \right)}\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)$
III/ Phương trình hệ quả
Phương tình ${{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$ là phương trình hệ quả của phương trình ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)$ , kí hiệu ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\Rightarrow {{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$
Nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương tình thứ hai.
B/ VÍ DỤ
VD 1: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x}=\sqrt{-x}$
A.0
B.1
C.2
D.3
Giải
Điều kiện xác định
.png)
Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho
Đáp án B
VD 2: Số nghiệm của phương trình $\left| x \right|=-x$
A.0
B.1
C.2
C.Vô số
Giải
Ta có:
.png)
Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm
Đáp án D
VD 3: Số nghiệm của phương trình $\left| x-1 \right|=x-1$
A.0
B.1
C.2
D.Vô số
Giải
Ta có:
.png)
Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm
Đáp án D
VD 4: Tìm tập nghiệm của phương trình $\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)\sqrt{x-2}=0$
A.$\varnothing $
B.$\left\{ 1 \right\}$
C.$\left\{ 2 \right\}$
D.$\left\{ 1;2 \right\}$
Giải
Điều kiện xác định: $x-2\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2$
.png)
Đáp án D
VD 5: Tập nghiệm của phương trình $\frac{x-4}{-{{x}^{2}}+4x-3}=\frac{3}{{{x}^{2}}-4x+3}-1$ là
A.$\left\{ 4 \right\}$
B.$\left\{ 1 \right\}$
C.$\left\{ 1;4 \right\}$
D.$\left\{ 3 \right\}$
Giải
Điều kiện xác định:
${{x}^{2}}-4x+3\ne 0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)\ne 0$
$\Leftrightarrow x\ne 1$ và $x\ne 3$
$PT\Leftrightarrow \frac{3}{{{x}^{2}}-4x+3}+\frac{x-4}{{{x}^{2}}-4x+3}=1$
$\Leftrightarrow \frac{x-1}{{{x}^{2}}-4x+3}=1\Leftrightarrow x-1={{x}^{2}}-4x+3$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-4 \right)=0$
$\Leftrightarrow x=1$(loại) hoặc $x=4$
Đáp án B
C/ BÀI TẬP
Bài 1: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}=\left( 1-x \right)\left( x-2 \right)$
A.0
B.1
C.2
D.Vô số
Bài 2: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{-{{x}^{2}}+6x+9}+\left( 1-x \right)\left( x-2 \right)=0$
A.0
B.1
C.2
D.Vô nghiệm
Bài 3: Điều kiện của phương trình $\frac{2{{x}^{2}}+x\sqrt{2x-3}}{x+2}=3+x-\sqrt{7-x}$
A.$x\ne 2$
B.$x\le \frac{7}{4}$
C.$x\ge \frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{2}\le x\le \frac{7}{4}$
Bài 4: Tập nghiệm của phương trình $2{{x}^{2}}-1+\sqrt{2x-1}=7+\sqrt{2x-1}$ là
A.$\left\{ -2 \right\}$
B.$\left\{ 2 \right\}$
C.$\left\{ -2;2 \right\}$
D.$\left\{ \frac{1}{2} \right\}$
Bài 5: Tập nghiệm của phương trình $\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{\sqrt{2x-7}}=\sqrt{2x-7}$ là
A.\[\left\{ -1 \right\}\]
B.\[\left\{ 1 \right\}\]
C.\[\left\{ 2 \right\}\]
D.$\varnothing $
Bài 6: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình sau tương đương
$x+2=0$ $\left( 1 \right)$ và $\frac{mx}{x+3}+3m-1=0$ $\left( 2 \right)$
A.$m=-2$
B.$m=-1$
C.$m=1$
D.$m=\pm 3$
Bài 7: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình sau tương đương
${{x}^{2}}-9=0$ $\left( 1 \right)$ và $2{{x}^{2}}+\left( m-5 \right)x-3\left( m+1 \right)=0$ $\left( 2 \right)$
A.$m=-2$
B.$m=-1$
C.$m=5$
D.$m=\pm 3$
Bài 8: Điều kiện của phương trình $\frac{\sqrt{x-2}}{{{x}^{2}}+x-2}=\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}$
A.$x\ne 1$
B.$x>2$
C.$x\ne -2$
D.$x\ne 1,x\ne -2$
Bài 9: Tìm các giá trị m để hai phương trình sau tương đương
$2x-1=0$ $\left( 1 \right)$ và $\frac{2mx}{x+1}+m-1=0$ $\left( 2 \right)$
A.$m=\frac{1}{2}$
B.$m=\frac{3}{5}$
C.$m=1$
D.$m=0$
Bài 10: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình sau tương đương
${{x}^{2}}+3x-4=0$ $\left( 1 \right)$ và $2{{x}^{2}}+\left( 4m-6 \right)x-4\left( m-1 \right)=0$ $\left( 2 \right)$
A.$m=\frac{3}{2}$
B.$m=3$
C.$m=\frac{1}{2}$
D.$m=1$
ĐÁP ÁN
.png)
