ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
A. Lý thuyết
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b):
$f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$ (Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0))
- Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
- \[f'(x_{0}^{+})=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\]. \[f'(x_{0}^{-})=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\].
Hệ quả : Hàm \[f(x)\] có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\Leftrightarrow \exists \text{ }f(x_{0}^{+})\] và \[f'(x_{0}^{-})\] đồng thời \[f'(x_{0}^{+})=f'(x_{0}^{-})\].
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
- $\bullet $ Hàm số \[f(x)\] có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên \[(a;b)\] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc \[(a;b)\]
- $\bullet $ Hàm số \[f(x)\] có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên \[\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc \[(a;b)\] đồng thời tồn tại đạo hàm trái \[f'({{b}^{-}})\] và đạo hàm phải \[f'({{a}^{+}})\].
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
- $\bullet $ Nếu hàm số \[f(x)\] có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\] thì \[f(x)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\].
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] nhưng hàm đó không có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\].
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại\[{{x}_{0}}<1\]?
A. \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{f(x+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}\]. B. \[\underset{x\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\].
C. \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\]. D. \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\text{lim}}}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\].
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại \[{{x}_{0}}\]. Đạo hàm của $f\left( x \right)$ tại \[{{x}_{0}}\] là
A. $f\left( {{x}_{0}} \right)$.
B. \[\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}{h}\].
C. \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}{h}\] (nếu tồn tại giới hạn).
D. \[\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}}-h)}{h}\] (nếu tồn tại giới hạn).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Định nghĩa \[{f}'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}\] hay \[{f}'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}{h}\] (nếu tồn tại giới hạn).
Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ là \[f'({{x}_{0}})\]. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \[{f}'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}.\] B. \[{f}'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}.\]
C. \[{f}'({{x}_{0}})=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+h)-f({{x}_{0}})}{h}.\] D. \[{f}'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+{{x}_{0}})-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
B. Đúng vì
\[\Delta x=x-{{x}_{0}}\Rightarrow x=\Delta x+{{x}_{0}}\]
\[\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\]
\[\Rightarrow {f}'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x+{{x}_{0}}-{{x}_{0}}}=\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}\]
C. Đúng vì
Đặt \[h=\Delta x=x-{{x}_{0}}\Rightarrow x=h+{{x}_{0}},\] \[\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\]
\[\Rightarrow {f}'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\frac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h+{{x}_{0}}-{{x}_{0}}}=\frac{f\left( {{x}_{0}}+h \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{h}\]
Câu 4. Số gia của hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}\] ứng với \[{{x}_{0}}=2\] và \[\Delta x=1\] bằng bao nhiêu?
A. \[-19\]. B. \[7\]. C. \[19\]. D. \[-7\].
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có $\Delta y=f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)={{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{3}}-{{2}^{3}}={{x}_{0}}^{3}+{{\left( \Delta x \right)}^{3}}+3{{x}_{0}}\Delta x\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-8$.
Với \[{{x}_{0}}=2\] và $\Delta x=1$ thì $\Delta y=19$.
Câu 5. Tỉ số \[\frac{\Delta y}{\Delta x}\] của hàm số \[f\left( x \right)=2x\left( x-1 \right)\]theo x và \[\Delta x\]là
A. \[4x+2\Delta x+2.\] B. \[4x+2{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-2.\]
C. \[4x+2\Delta x-2.\] D. \[4x\Delta x+2{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-2\Delta x.\]
Hướng dẫn giải:
Chọn C
\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\frac{2x\left( x-1 \right)-2{{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}-1 \right)}{x-{{x}_{0}}}\]
\[=\frac{2\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x+{{x}_{0}} \right)-2\left( x-{{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=2x+2{{x}_{0}}-2=4x+2\Delta x-2\]
II. Bài tập tự luyện
Câu 1. Số gia của hàm số \[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2}\]ứng với số gia \[\Delta x\]của đối số x tại \[{{x}_{0}}=-1\]là
A. \[\frac{1}{2}{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-\Delta x.\] B. \[\frac{1}{2}\left[ {{\left( \Delta x \right)}^{2}}-\Delta x \right].\] C. \[\frac{1}{2}\left[ {{\left( \Delta x \right)}^{2}}+\Delta x \right].\] D. \[\frac{1}{2}{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+\Delta x.\]
Câu 2. Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{2}}-x\], đạo hàm của hàm số ứng với số gia \[\Delta x\]của đối số x tại x0 là
A. \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{\left( \Delta x \right)}^{2}}+2x\Delta x-\Delta x \right).\] B. \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x+2x-1 \right).\]
C. \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x+2x+1 \right).\] D. \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( {{\left( \Delta x \right)}^{2}}+2x\Delta x+\Delta x \right).\]
Câu 3. Cho hàm số .png)
Xét hai mệnh đề sau:
(I) \[{f}'\left( 0 \right)=1\].
(II) Hàm số không có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}=0\].
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.
Câu 4. Tính đạo hàm .png)
tại điểm ${{x}_{0}}=1$.
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{5}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{1}{4}$
Câu 5. Tính đạo hàm .png)
tại ${{x}_{0}}=1$.
A. $0$ B. $4$ C. $5$ D. Đáp án khác
Câu 6. Cho hàm số .png)
. Khi đó \[{f}'\left( 0 \right)\]là kết quả nào sau đây?
A. $\frac{1}{4}.$ B. $\frac{1}{16}.$ C. $\frac{1}{32}.$ D. Không tồn tại.
Câu 7. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}}\]. Khi đó \[{f}'\left( 0 \right)\] là kết quả nào sau đây?
A. Không tồn tại. B. 0 C. 1. D. 2.
Câu 8. Cho hàm số .png)
. Để hàm số này có đạo hàm tại $x=2$ thì giá trị của b là
A. $b=3.$ B. $b=6.$ C. $b=1.$ D. $b=-6.$
Câu 9. Số gia của hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+1\] ứng với x và \[\Delta x\]là
A. \[\Delta x\left( \Delta x+2x-4 \right).\] B. \[2x+\Delta x.\] C. \[\Delta x.\left( 2x-4\Delta x \right).\] D. \[2x-4\Delta x.\]
Câu 10. Xét ba mệnh đề sau:
(1) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm \[x={{x}_{0}}\]thì \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm đó.
(2) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[x={{x}_{0}}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.
(3) Nếu \[f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x={{x}_{0}}\] thì chắc chắn \[f\left( x \right)\] không có đạo hàm tại điểm đó.
Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai.
C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai.
Câu 11. Xét hai câu sau:
(1) Hàm số \[y=\frac{\left| x \right|}{x+1}\] liên tục tại \[x=0\]
(2) Hàm số \[y=\frac{\left| x \right|}{x+1}\] có đạo hàm tại \[x=0\]
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng. B. Chỉ có (1) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Câu 12. Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{2}}+\left| x \right|\]. Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại.
(2). Hàm số trên liên tục tại \[x=0\].
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Câu 13. Tìm \[a,b\] để hàm số .png)
có đạo hàm tại \[x=1\].
A. .png)
B. .png)
C. .png)
D. .png)
Câu 14. Cho hàm số .png)
. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$?
A. $a=1;b=-\frac{1}{2}.$ B. $a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{2}.$ C. $a=\frac{1}{2};b=-\frac{1}{2}.$ D. $a=1;b=\frac{1}{2}.$
Câu 15 . Tính đạo hàm .png)
tại \[x=0\].
A. $0$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $7$
Câu 16. Tính đạo hàm .png)
tại ${{x}_{0}}=0$
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
Câu 17. Tính đạo hàm $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+\left| x+1 \right|}{x}$ tại ${{x}_{0}}=-1$.
A. 2 B. 0 C. 3 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Câu 1.
Chọn A
Với số gia \[\Delta x\] của đối số x tại \[{{x}_{0}}=-1\] Ta có
\[\Delta y=\frac{{{\left( -1+\Delta x \right)}^{2}}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1+{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-2\Delta x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-\Delta x\]
Câu 2.
Chọn B
Ta có :
\[\Delta y={{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{2}}-\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-\left( x_{0}^{2}-{{x}_{0}} \right)\]
\[=x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}}-{{x}_{0}}-\Delta x-x_{0}^{2}+{{x}_{0}}={{\left( \Delta x \right)}^{2}}+2{{x}_{0}}\Delta x-\Delta x\]
Nên \[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+2{{x}_{0}}\Delta x-\Delta x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x+2{{x}_{0}}-1 \right)\]
Vậy \[f'\left( x \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x+2x-1 \right)\]
Câu 3.
Chọn B.
Gọi \[\Delta x\] là số gia của đối số tại 0 sao cho \[\Delta x\] > 0.
Ta có \[{f}'\left( 0 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( \Delta x+0 \right)-f\left( 0 \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\Delta x}}{{{\left( \Delta x \right)}^{2}}}=+\infty \].
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.
Câu 4.
Chọn C.
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1}-1}{{{(x-1)}^{2}}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1}+1}=\frac{1}{2}$
Vậy $f'(1)=\frac{1}{2}$.
Câu 5.
Chọn D.
Ta có $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+3 \right)=5$
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-7x+4}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+3x-4)=0$
Dẫn tới $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\Rightarrow $ hàm số không liên tục tại $x=1$ nên hàm số không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=1$.
Câu 6.
Chọn B
Ta có \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{3-\sqrt{4-x}}{4}-\frac{1}{4}}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\sqrt{4-x}}{4x}\]
\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2-\sqrt{4-x} \right)\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}{4x\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{4x\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{4\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}=\frac{1}{16}.\]
Câu 7.
Chọn A.
Ta có \[f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\] nên \[{f}'\left( x \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( \Delta x+0 \right)-f\left( 0 \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}\].
Do \[\underset{\Delta {{x}^{-}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}=-1\ne \underset{\Delta {{x}^{+}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}=1\] nên \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}\] không tồn tại.
Câu 8.
Chọn B
Ta có
\[\bullet f\left( 2 \right)=4\]
\[\bullet \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=4\]
\[\bullet \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{{{x}^{2}}}{2}+bx-6 \right)=2b-8\]
\[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại $x=2$ khi và chỉ khi \[f\left( x \right)\] liên tục tại $x=2$
\[\Leftrightarrow \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow 2b-8=4\Leftrightarrow b=6.\]
Câu 9.
Chọn A
Ta có
\[\Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)\]
\[={{\left( \Delta x+x \right)}^{2}}-4\left( \Delta x+x \right)+1-\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)\]
\[=\Delta {{x}^{2}}+2\Delta x.x+{{x}^{2}}-4\Delta x-4x+1-{{x}^{2}}+4x-1=\Delta {{x}^{2}}+2\Delta x.x-4\Delta x=\Delta x\left( \Delta x+2x-4 \right)\]
Câu 10.
Chọn A
(1) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm \[x={{x}_{0}}\]thì \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.
(2) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[x={{x}_{0}}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.
Phản ví dụ
Lấy hàm \[f\left( x \right)=\left| x \right|\] ta có \[D=\mathbb{R}\] nên hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Nhưng ta có .png)
Nên hàm số không có đạo hàm tại \[x=0\].
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu \[f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x={{x}_{0}}\] thì chắc chắn \[f\left( x \right)\] không có đạo hàm tại điểm đó.
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có \[f\left( x \right)\] không liên tục tại \[x={{x}_{0}}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng.
Câu 11.
Chọn B
Ta có :.png)
. Vậy hàm số \[y=\frac{\left| x \right|}{x+1}\] liên tục tại \[x=0\]
Ta có : \[\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\frac{\frac{\left| x \right|}{x+1}-0}{x}=\frac{\left| x \right|}{x\left( x+1 \right)}\](với \[x\ne 0\])
Do đó :.png)
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của \[\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}\] khi \[x\to 0\].
Vậy hàm số \[y=\frac{\left| x \right|}{x+1}\] không có đạo hàm tại \[x=0\]
Câu 12.
Chọn B.
Ta có
+) $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x \right)=0$.
+) $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-x \right)=0$.
+) $f\left( 0 \right)=0$.
$\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)$. Vậy hàm số liên tục tại $x=0$.
Mặt khác:
+) ${f}'\left( {{0}^{+}} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=1$.
+) ${f}'\left( {{0}^{-}} \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)=-1$.
$\Rightarrow {f}'\left( {{0}^{+}} \right)\ne {f}'\left( {{0}^{-}} \right)$. Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.
Câu 13.
Chọn D
Ta có:\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+x)=2\]; \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(ax+b)=a+b\]
Hàm có đạo hàm tại \[x=1\] thì hàm liên tục tại \[x=1\] \[\Leftrightarrow a+b=2\] (1)
\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(x+2)=3\]
\[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax-a}{x-1}=a\](Do\[b=2-a\])
Hàm có đạo hàm tại x = 1.png)
Câu 14.
Chọn A
Hàm số liên tục tại $x=1$ nên Ta có \[a+b=\frac{1}{2}\]
Hàm số có đạo hàm tại $x=1$ nên giới hạn 2 bên của \[\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}\] bằng nhau và Ta có
\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b-\left( a.1+b \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{a\left( x-1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,a=a\]
\[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{2}}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}{2\left( x-1 \right)}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)}{2}=1\]
Vậy $a=1;b=-\frac{1}{2}$
Câu 15 .
Chọn A
Ta có: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,x\sin \frac{1}{x}=0$
Vậy $f'(0)=0$.
Câu 16.
Chọn A
Ta có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sin x}{x}.\sin x \right)=0$
$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+{{x}^{2}} \right)=0$ nên hàm số liên tục tại $x=0$
$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}}=1$ và
$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+{{x}^{2}}}{x}=1$
Vậy $f'(0)=1$.
Câu 17.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=-1$ và
$\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\frac{{{x}^{2}}+x+\left| x+1 \right|}{x(x+1)}$
Nên $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x(x+1)}=0$
$\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x(x+1)}=2$
Do đó $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}$
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}=-1$.
Nhận xét: Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x={{x}_{0}}$ thì phải liên tục tại điểm đó.
