QUY TẮC ĐẾM

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1. Qui tắc cộng:

a) Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$ đôi một rời nhau. Khi đó:

$\left| {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup ...\cup {{A}_{n}} \right|=\left| {{A}_{1}} \right|+\left| {{A}_{2}} \right|+...+\left| {{A}_{n}} \right|$

2. Qui tắc nhân:

a) Định nghĩa:

Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$ đôi một rời nhau. Khi đó:

$\left| {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap ...\cap {{A}_{n}} \right|=\left| {{A}_{1}} \right|.\left| {{A}_{2}} \right|.....\left| {{A}_{n}} \right|$.

3. Các bài toán đếm cơ bản

Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

Khi lập một số tự nhiên $x=\overline{{{a}_{1}}...{{a}_{n}}}$ ta cần lưu ý:

* ${{a}_{i}}\in \left\{ 0,1,2,...,9 \right\}$ và ${{a}_{1}}\ne 0$.

* $x$ là số chẵn $\Leftrightarrow {{a}_{n}}$ là số chẵn

* $x$ là số lẻ $\Leftrightarrow {{a}_{n}}$ là số lẻ

* $x$ chia hết cho $3\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}$ chia hết cho $3$

* $x$ chia hết cho $4$ $\Leftrightarrow \overline{{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}}$ chia hết cho $4$

* $x$ chia hết cho $5\Leftrightarrow {{a}_{n}}\in \left\{ 0,5 \right\}$

* $x$ chia hết cho 6 $\Leftrightarrow x$ là số chẵn và chia hết cho $3$

* $x$ chia hết cho $8\Leftrightarrow \overline{{{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}}$ chia hết cho $8$

* $x$ chia hết cho $9\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}$ chia hết cho $9$.

* $x$ chia hết cho $11\Leftrightarrow $tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho $11$.

* $x$ chia hết cho $25\Leftrightarrow $ hai chữ số tận cùng là $00,25,50,75$.

Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế

Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học

Chú ý: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động $H$ thỏa mãn tính chất $T$. Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau

Cách 1: Đếm trực tiếp

$\bullet $ Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.

$\bullet $ Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó

$\bullet $ Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên

Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)

Trong trường hợp hành động $H$ chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:

$\bullet $ Đếm số phương án thực hiện hành động $H$ (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất $T$ hay không) ta được $a$phương án.

$\bullet $ Đếm số phương án thực hiện hành động $H$ không thỏa tính chất $T$ ta được $b$ phương án.

Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: $a-b$.

B – HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Từ các số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là:
1. Số chẵn

A. 360 B. 343 C. 523 D. 347

2. Số lẻ

A. 360 B. 343 C. 480 D. 347

Câu 2: Cho các số \[1,5,6,7\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \[4\] chữ số với các chữ số khác nhau:

A. \[12\]. B. \[24\]. C. \[64\]. D. \[256\].

Câu 3: Từ các chữ số \[2,3,4,5\] có thể lập được bao nhiêu số gồm \[4\] chữ số:

A. \[256\]. B. \[120\]. C. \[24\]. D. \[16\].

Câu 4: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số \[0,1,2,4,5,6,8\].

A. 252 B. 520 C. 480 D. 368

Câu 5: Cho \[6\] chữ số \[2,3,4,5,6,7\]số các số tự nhiên chẵn có \[3\] chữ số lập thành từ \[6\] chữ số đó:

A. \[36\]. B. \[18\]. C. \[256\]. D. \[108\].

Câu 6: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?

A. \[40\]. B. \[45\]. C. \[50\]. D. \[55\].

Câu 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:

A. \[5\]. B. \[15\]. C. \[55\]. D. \[10\].

Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có \[3\] chữ số:

A. \[900\]. B. \[901\]. C. \[899\]. D. \[999\].

Câu 9: Cho các chữ số 1, 2, 3,., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số

a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau

A. 3024 B. 2102 C. 3211 D. 3452

b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và không vượt quá 2011.

A. 168 B. 170 C. 164 D. 172

Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có \[3\] chữ số lập từ các số \[0,2,4,6,8\] với điều các chữ số đó không lặp lại:

A. \[60\]. B. \[40\]. C. \[48\]. D. \[10\].

Câu 11: Cho hai tập hợp\[A=\{a,b,c,d\}\] ;\[B=\{c,d,e\}\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \[N\left( A \right)=4\]. B. \[N\left( B \right)=3\]. C. \[N(A\cup B)=7\]. D. \[N(A\cap B)=2\].

Câu 12: Cho các số\[1,2,3,4,5,6,7\]. Số các số tự nhiên gồm \[5\] chữ số lấy từ \[7\] chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng \[3\] là:

A. \[{{7}^{5}}\]. B. \[7!\]. C. \[240\]. D. \[2401\].

Câu 13: Từ các số \[1,3,5\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \[3\] chữ số:

A. \[6\]. B. \[8\]. C. \[12\]. D. \[27\].

Câu 14: Có bao nhiêu số có \[2\] chữ số, mà tất cả các chữ số đều lẻ:

A. \[25\]. B. \[20\]. C. \[30\]. D. \[10\].

Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \[5\] chữ số lớn hơn \[4\] và đôi một khác nhau:

A. \[240\]. B. \[120\]. C. \[360\]. D. \[24\].

Câu 16: Cho tập. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau

A. 720 B. 261 C. 235 D. 679

Câu 17: Từ các số \[1,2,3\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau:

A. \[15\]. B. \[20\]. C. \[72\]. D. \[36\]

Câu 18: Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ.

A. 11523 B. 11520 C. 11346 D. 22311

Câu 19: Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?

A. 3999960 B. 33778933 C. 4859473 D. 3847294

Câu 20: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau.

A. 30240 B. 32212 C. 23460 D. 32571

Câu 21: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn \[100\] chia hết cho \[2\] và \[3\].

A. \[12\]. B. \[16\]. C. \[17\]. D. \[20\].

Câu 22: Cho tập $A=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right\}$. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.

A. 15120 B. 23523 C. 16862 D. 23145

Câu 23: Từ các số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia hết cho 5

A. 360 B. 120 C. 480 D. 347

Câu 24: Cho tập $A=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\}$. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.

A. 660 B. 432 C. 679 D. 523

Câu 25: Số các số tự nhiên gồm \[5\] chữ số chia hết cho \[10\] là:

A. \[3260\]. B. \[3168\]. C. \[9000\]. D. \[12070\].

Câu 26: Cho tập hợp số : $A=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\}$.Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

A. 114 B. 144 C. 146 D. 148

Câu 27: Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số $2011$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$.

A. $\frac{{{9}^{2011}}-{{2019.9}^{2010}}+8}{9}$ B. $\frac{{{9}^{2011}}-{{2.9}^{2010}}+8}{9}$

C. $\frac{{{9}^{2011}}-{{9}^{2010}}+8}{9}$ D. $\frac{{{9}^{2011}}-{{19.9}^{2010}}+8}{9}$

Câu 28: Từ thành phố $A$ đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.

A. 42 B. 46 C. 48 D. 44

Câu 29: Từ thành phố A đến thành phố B có \[3\] con đường, từ thành phố A đến thành phố C có \[2\] con đường, từ thành phố B đến thành phố D có \[2\] con đường, từ thành phố C đến thành phố D có \[3\] con đường, không có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố B. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D.

A. \[6\]. B. \[12\]. C. \[18\]. D. \[36\].

Câu 1: Từ các số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là:
1. Số chẵn

A. 360 B. 343 C. 523 D. 347

2. Số lẻ

A. 360 B. 343 C. 480 D. 347

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần lập $x=\overline{abcd}$; $a,b,c,d\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7 \right\}$ và $a,b,c,d$ đôi một khác nhau.

1. Công việc ta cần thực hiện là lập số $x$ thỏa mãn $x$ là số chẵn nên $d$ phải là số chẵn. Do đó để thực hiện công việc này ta thực hiện qua các công đoạn sau

Bước 1: Chọn $d$: Vì $d$ là số chẵn nên $d$ chỉ có thể là các số $2,4,6$ nên $d$ có 3 cách chọn.

Bước 2: Chọn $a$: Vì ta đã chọn d nên $a$ chỉ có thể chọn một trong các số của tập $\left\{ 1,2,3,4,5,6,7 \right\}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }d\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ nên có $6$ cách chọn $a$

Bước 3: Chọn $b$: Tương tự ta có $5$ cách chọn $b$

Bước 4: Chọn $c$: Có 4 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có: $3.6.5.4=360$ số thỏa yêu cầu bài toán.

2. Vì số $x$ cần lập là số lẻ nên $d$ phải là số lẻ. Ta lập $x$ qua các công đoạn sau.

Bước 1: Có 4 cách chọn d

Bước 2: Có 6 cách chọn a

Bước 3: Có 5 cách chọn b

Bước 4: Có 4 cách chọn c

Vậy có 480 số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 2: Cho các số \[1,5,6,7\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \[4\] chữ số với các chữ số khác nhau:

A. \[12\]. B. \[24\]. C. \[64\]. D. \[256\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi số tự nhiên có \[4\] chữ số cần tìm là: \[\overline{abcd},\text{ }a\ne 0\], khi đó:

\[a\] có \[4\] cách chọn

\[b\] có \[3\] cách chọn

\[c\] có \[2\] cách chọn

\[d\] có \[1\] cách chọn

Vậy có: \[4.3.2.1=24\] số

Nên chọn \[B\].

Câu 3: Từ các chữ số \[2,3,4,5\] có thể lập được bao nhiêu số gồm \[4\] chữ số:

A. \[256\]. B. \[120\]. C. \[24\]. D. \[16\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi số tự nhiên có \[4\] chữ số cần tìm là: \[\overline{abcd},\text{ }a\ne 0\], khi đó:

\[a\] có \[4\] cách chọn

\[b\] có \[4\] cách chọn

\[c\] có \[4\] cách chọn

\[d\] có \[4\] cách chọn

Vậy có: \[4.4.4.4=256\] số

Nên chọn \[A\].

Câu 4: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số \[0,1,2,4,5,6,8\].

A. 252 B. 520 C. 480 D. 368

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi $x=\overline{abcd};\text{ }a,b,c,d\in \left\{ 0,1,2,4,5,6,8 \right\}$.

Cách 1: Tính trực tiếp

Vì $x$ là số chẵn nên $d\in \left\{ 0,2,4,6,8 \right\}$.

TH 1: $d=0\Rightarrow $ có 1 cách chọn $d$.

Với mỗi cách chọn $d$ ta có 6 cách chọn $a\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}$

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ a \right\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ a,b \right\}$

Suy ra trong trường hợp này có $1.6.5.4=120$ số.

TH 2: $d\ne 0\Rightarrow d\in \left\{ 2,4,6,8 \right\}\Rightarrow $ có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn $d$, do $a\ne 0$ nên ta có 5 cách chọn

$a\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ d \right\}$.

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ a \right\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c\in \left\{ 1,2,4,5,6,8 \right\}\backslash \left\{ a,b \right\}$

Suy ra trong trường hợp này có \[4.5.5.4=400\] số.

Vậy có tất cả $120+400=520$ số cần lập.

Cách 2: Tính gián tiếp ( đếm phần bù)

Gọi $A=${ số các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số \[0,1,2,4,5,6,8\]}

$B=${ số các số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số \[0,1,2,4,5,6,8\]}

$C=${ số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số \[0,1,2,4,5,6,8\]}

Dễ dàng tính được: $\left| A \right|=6.6.5.4=720$.

Ta đi tính $\left| B \right|$?
$x=\overline{abcd}$ là số lẻ $\Rightarrow d\in \left\{ 1,5 \right\}\Rightarrow d$ có 2 cách chọn.

Với mỗi cách chọn $d$ ta có 5 cách chọn $a$(vì $a\ne 0,a\ne d$)
Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có 4 cách chọn $c$

Suy ra $\left| B \right|=2.5.5.4=200$

Vậy $\left| C \right|=520$.

Câu 5: Cho \[6\] chữ số \[2,3,4,5,6,7\]số các số tự nhiên chẵn có \[3\] chữ số lập thành từ \[6\] chữ số đó:

A. \[36\]. B. \[18\]. C. \[256\]. D. \[108\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi số tự nhiên có \[3\] chữ số cần tìm là: \[\overline{abc},\text{ }a\ne 0\], khi đó:

\[c\] có \[3\] cách chọn

\[a\] có \[6\] cách chọn

\[b\] có \[6\] cách chọn

Vậy có: \[3.6.6=108\] số

Nên chọn \[D\].

Câu 6: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?

A. \[40\]. B. \[45\]. C. \[50\]. D. \[55\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Nếu chữ số hàng chục là \[n\] thì số có chữ số hàng đơn vị là \[n-1\] thì số các chữ số nhỏ hơn \[n\] năm ở hàng đơn vị cũng bằng \[n\]. Do chữ số hang chục lớn hơn bằng $1$ còn chữ số hang đơn vị thi $\ge $.

Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:

\[1+2+3+4+5+6+7+8+9=45\] nên chọn \[B\].

Câu 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần:

A. \[5\]. B. \[15\]. C. \[55\]. D. \[10\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Với một cách chọn \[9\] chữ số từ tập \[\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}\] ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần.

Ta có \[10\] cách chọn \[9\] chữ số từ tập \[\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}\]

Do đó có \[10\] số tự nhiên cần tìm. nên chọn \[D\].

Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có \[3\] chữ số:

A. \[900\]. B. \[901\]. C. \[899\]. D. \[999\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Cách 1: Số có \[3\] chữ số là từ \[100\] đến \[999\] nên có \[999-100+1=900\]số.

Cách 2:

Gọi số tự nhiên có \[3\] chữ số cần tìm là: \[\overline{abc},\text{ }a\ne 0\], khi đó:

\[a\] có \[9\] cách chọn

\[b\] có \[10\] cách chọn

\[c\] có \[10\] cách chọn

Vậy có: \[9.10.10=900\] số

Nên chọn \[A\].

Câu 9: Cho các chữ số 1, 2, 3,., 9. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu số

a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau

A. 3024 B. 2102 C. 3211 D. 3452

b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và không vượt quá 2011.

A. 168 B. 170 C. 164 D. 172

Hướng dẫn giải:

1. Gọi số cần lập $x=\overline{abcd}$, $a,b,c,d\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}$

a) Có $9.8.7.6=3024$ số

b) Vì $x$ chẵn nên $d\in \left\{ 2,4,6,8 \right\}$. Đồng thời $x\le 2011\Rightarrow a=1$

có 1 cách chọn, khi đó $d$ có 4 cách chọn; $b,c$ có $7.6$ cách

Suy ra có: $1.4.6.7=168$ số

Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có \[3\] chữ số lập từ các số \[0,2,4,6,8\] với điều các chữ số đó không lặp lại:

A. \[60\]. B. \[40\]. C. \[48\]. D. \[10\].

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Gọi số tự nhiên có \[3\] chữ số cần tìm là: \[\overline{abc},\text{ }a\ne 0\], khi đó:

\[a\] có \[4\] cách chọn

\[b\] có \[4\] cách chọn

\[c\] có \[3\] cách chọn

Vậy có: \[4.4.3=48\] số

Nên chọn \[C\].

Câu 11: Cho hai tập hợp\[A=\{a,b,c,d\}\] ;\[B=\{c,d,e\}\]. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \[N\left( A \right)=4\]. B. \[N\left( B \right)=3\]. C. \[N(A\cup B)=7\]. D. \[N(A\cap B)=2\].

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có : $A\cup B=\left\{ a,b,c,d,e \right\}\Rightarrow N\left( A\cup B \right)=5$.

Câu 12: Cho các số\[1,2,3,4,5,6,7\]. Số các số tự nhiên gồm \[5\] chữ số lấy từ \[7\] chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng \[3\] là:

A. \[{{7}^{5}}\]. B. \[7!\]. C. \[240\]. D. \[2401\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abcde}$.

Chọn $a$ : có 1 cách $\left( a=3 \right)$

Chọn $\overline{bcde}$ : có ${{7}^{4}}$ cách

Theo quy tắc nhân, có ${{1.7}^{4}}=2401$(số)

Câu 13: Từ các số \[1,3,5\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \[3\] chữ số:

A. \[6\]. B. \[8\]. C. \[12\]. D. \[27\].

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{abc}$.

Khi đó: $a$có 3 cách chọn, $b$có 3 cách chọn, $c$có 3 cách chọn.

Nên có tất cả $3.3.3=27$số

Câu 14: Có bao nhiêu số có \[2\] chữ số, mà tất cả các chữ số đều lẻ:

A. \[25\]. B. \[20\]. C. \[30\]. D. \[10\].

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{ab}$.

Khi đó: $a$có 5 cách chọn, $b$có 5 cách chọn.

Nên có tất cả$5.5=25$số.

Câu 15: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \[5\] chữ số lớn hơn \[4\] và đôi một khác nhau:

A. \[240\]. B. \[120\]. C. \[360\]. D. \[24\].

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{abcde}$.

Khi đó: $a$có 5 cách chọn, $b$có 4 cách chọn, $c$có 3 cách chọn, $d$có 2 cách chọn, $e$có 1 cách chọn.

Nên có tất cả$5.4.3.2.1=120$số.

Câu 16: Cho tập. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau

A. 720 B. 261 C. 235 D. 679

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi số cần lập $x=\overline{abcd}$, $a,b,c,d\in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\};a\ne 0$

Chọn $a:$ có 6 cách; chọn $b,c,d$ có $6.5.4$

Vậy có $720$ số.

Câu 17: Từ các số \[1,2,3\] có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau:

A. \[15\]. B. \[20\]. C. \[72\]. D. \[36\]

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

TH1: số có 1 chữ số thì có 3 cách.

TH2: số có 2 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có$3.2=6$số.

TH3: số có 3 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có$3.2.1=6$số

Vậy có$3+6+6=15$số.

Câu 18: Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ.

A. 11523 B. 11520 C. 11346 D. 22311

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì chữ số đứng đầu chẵn nên ${{a}_{1}}$có $4$ cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên ${{a}_{8}}$ có 4 cách chọn. Các số còn lại có $6.5.4.3.2.1$ cách chọn

Vậy có ${{4}^{2}}.6.5.4.3.2.1=11520$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 19: Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?

A. 3999960 B. 33778933 C. 4859473 D. 3847294

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho.

Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1, 2, 3, 4, 5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là : \[24\left( {{10}^{4}}+{{10}^{3}}+{{10}^{2}}+10+1 \right)=24.11111\]
Vậy tổng các số có 5 chữ số là : \[24.11111\left( 1+2+3+4+5 \right)=3999960\].

Câu 20: Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau.

A. 30240 B. 32212 C. 23460 D. 32571

Hướng dẫn giải:

Gọi số in trên vé có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}}$

Số cách chọn ${{a}_{1}}$ là 10 (${{a}_{1}}$ có thể là 0).

Số cách chọn ${{a}_{2}}$ là 9.

Số cách chọn ${{a}_{3}}$ là 8.

Số cách chọn ${{a}_{4}}$ là 7.

Số cách chọn ${{a}_{5}}$ là 6.

Câu 21: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn \[100\] chia hết cho \[2\] và \[3\].

A. \[12\]. B. \[16\]. C. \[17\]. D. \[20\].

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn \[100\] chia hết cho \[2\] và \[3\] là \[96\].

Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn \[100\] chia hết cho \[2\] và \[3\] là \[0\].

Số các số tự nhiên nhỏ hơn \[100\] chia hết cho \[2\] và \[3\] là $\frac{96-0}{6}+1=17$ nên chọn \[C\].

A. 15120 B. 23523 C. 16862 D. 23145

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Vì $x$ lẻ và không chia hết cho 5 nên $d\in \left\{ 1,3,7 \right\}\Rightarrow d$ có 3 cách chọn

Số các chọn các chữ số còn lại là: $7.6.5.4.3.2.1$

Vậy $15120$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 23: Từ các số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia hết cho 5

A. 360 B. 120 C. 480 D. 347

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì $x$ chia hết cho 5 nên $d$ chỉ có thể là 5 $\Rightarrow $ có 1 cách chọn d.

Có 6 cách chọn a, 5 cách chọn b và 4 cách chọn c.

Vậy có $1.6.5.4=120$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 24: Cho tập $A=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\}$. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.

A. 660 B. 432 C. 679 D. 523

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi $x=\overline{abcde}$ là số cần lập, $e\in \left\{ 0,5 \right\},a\ne 0$

Trường hợp này có 360 số

$e=5\Rightarrow e$ có một cách chọn, số cách chọn $a,b,c,d:$$5.5.4.3=300$

Trường hợp này có 300 số

Vậy có $660$ số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 25: Số các số tự nhiên gồm \[5\] chữ số chia hết cho \[10\] là:

A. \[3260\]. B. \[3168\]. C. \[9000\]. D. \[12070\].

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi số cần tìm có dạng :abcde

Chọn $e$ : có 1 cách $\left( e=0 \right)$

Chọn $a$ : có 9 cách $\left( a\ne 0 \right)$

Chọn $\overline{bcd}$ : có ${{10}^{3}}$ cách

Theo quy tắc nhân, có ${{1.9.10}^{3}}=9000$(số).

Câu 26: Cho tập hợp số : $A=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6 \right\}$.Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

A. 114 B. 144 C. 146 D. 148

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là $\{0,1,2,3\},$ $\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 0,1,2,6 }\!\!\}\!\!\text{ }$, $\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 0,2,3,4 }\!\!\}\!\!\text{ }$, $\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 0,3,4,5 }\!\!\}\!\!\text{ }$, $\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,2,4,5 }\!\!\}\!\!\text{ }$, $\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1,2,3,6 }\!\!\}\!\!\text{ }$, $\left\{ 1,3,5,6 \right\}$.

Vậy số các số cần lập là: $4(4!-3!)+3.4!=144$ số.

Câu 27: Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số $2011$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$.

A. $\frac{{{9}^{2011}}-{{2019.9}^{2010}}+8}{9}$ B. $\frac{{{9}^{2011}}-{{2.9}^{2010}}+8}{9}$

C. $\frac{{{9}^{2011}}-{{9}^{2010}}+8}{9}$ D. $\frac{{{9}^{2011}}-{{19.9}^{2010}}+8}{9}$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đặt $X$ là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.

$A=${ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

Với mỗi số thuộc A có $m$ chữ số $(m\le 2008)$ thì ta có thể bổ sung thêm $2011-m$ số $0$ vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{2011}}};\text{ }{{a}_{i}}\in \left\{ 0,1,2,3,...,9 \right\}$

${{A}_{0}}=\left\{ a\in A| \right.$mà trong $a$ không có chữ số 9}

${{A}_{1}}=\left\{ a\in A| \right.$ mà trong $a$ có đúng 1 chữ số 9}

$\bullet $ Ta thấy tập A có $1+\frac{{{9}^{2011}}-1}{9}$ phần tử

$\bullet $ Tính số phần tử của ${{A}_{0}}$

Với $x\in {{A}_{0}}\Rightarrow x=\overline{{{a}_{1}}...{{a}_{2011}}};{{a}_{i}}\in \left\{ 0,1,2,...,8 \right\}\text{ }i=\overline{1,2010}$ và ${{a}_{2011}}=9-r$ với $r\in \left[ 1;9 \right],r\equiv \sum\limits_{i=1}^{2010}{{{a}_{i}}}$. Từ đó ta suy ra ${{A}_{0}}$ có ${{9}^{2010}}$ phần tử

$\bullet $ Tính số phần tử của ${{A}_{1}}$

Để lập số của thuộc tập ${{A}_{1}}$ ta thực hiện liên tiếp hai bước sau

Bước 1: Lập một dãy gồm $2010$ chữ số thuộc tập $\left\{ 0,1,2...,8 \right\}$ và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là ${{9}^{2009}}$

Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9

Do đó ${{A}_{1}}$ có ${{2010.9}^{2009}}$ phần tử.

Vậy số các số cần lập là:

$1+\frac{{{9}^{2011}}-1}{9}-{{9}^{2010}}-{{2010.9}^{2009}}=\frac{{{9}^{2011}}-{{2019.9}^{2010}}+8}{9}$.

A. 42 B. 46 C. 48 D. 44

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 6 con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 7 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Vậy có $6.7=42$ cách đi từ thành phố A đến B.