Hàm số lượng giác (Dạng 4)

Dạng 4.  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác.

A. Lý thuyết

*Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:

1. Tính bị chặn của hàm số lượng giác .
2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $\sin $và cos.
3. Bảng biến thiên của hàm số lượng giác.
4. Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.

*Một số bất đẳng thức ta thường dung:

1.Bất đẳng thức AM – GM.

a. Với hai số:

Cho hai số thực \[a,\,b\]là hai số dương, ta có \[\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\]dấu bằng xảy ra khi \[a=\,b\].

b. Với \[n\] số:

Cho hai số thực \[{{x}_{1}};\,{{x}_{2}};\,{{x}_{3}};\,...;\,{{x}_{n}}\]là các số dương \[n\in {{N}^{*}}\], ta có \[\frac{{{x}_{1}}+\,{{x}_{2}}+\,{{x}_{3}}+\,...+\,{{x}_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}.{{x}_{3}}.\,..\,{{x}_{n}}}\]dấu bằng xảy ra khi \[{{x}_{1}}=\,{{x}_{2}}=\,{{x}_{3}}=\,...={{x}_{n}}\].

           2. Bất đẳng thức Bunyakovsky

           a. Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường.

           \[\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\ge {{\left( ac+bd \right)}^{2}}\]  . Dấu bằng xảy             ra khi \[\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\]

           b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số

           Với hai bộ số \[\left( {{a}_{1}};\,{{a}_{2}};\,...;\,{{a}_{n}} \right)\]và \[\left( {{b}_{1}};\,{{b}_{2}};\,...;\,{{b}_{n}}                 \right)\]ta có

           \[\,\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right)\,\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2} \right)\ge {{\left(                  {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}\]

             c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có \[\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}}                 \right)\ge 4abcd\]

B. Bài tập mẫu

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=2017\cos (8x+\frac{10\pi }{2017})+2016.$

           A. \[\min y=1;maxy=4033.\]                                   

           B. $\min y=-1;maxy=4033.$

           C.$\min y=1;maxy=4022.$                                    

           D. $\min y=-1;\max y=4022.$

Phân tích

Ta có các bước để giải quyết bài toán như sau:

Bước 1:  Chỉ ra $f\left( x \right)\le M,\forall x\in D.$

Bước 2 : Chỉ ra ${{x}_{0}}\in D$ sao cho $f\left( {{x}_{0}} \right)=M$ .

Kết luận : $\underset{D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=M$

Tương tự với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải

Chọn B.

Cách 1:  Hàm số xác định trên $R$ .

Ta có $-1\le \cos \left( 8x+\frac{10\pi }{2017} \right)\le 1,\forall R.$

$\Leftrightarrow -2017\le 2017\cos \left( 8x+\frac{10\pi }{2017} \right)+2016\le 4033,\forall \in \,R$ .

$\Leftrightarrow -1\le 2017\cos \left( 8x+\frac{10\pi }{2017} \right)+2016\le 4033,\forall \in \,R$

Ta có $y=-1$ khi $\cos \left( 8x+\frac{10\pi }{2017} \right)=-1$ ; $y=4033$ khi $\cos \left( 8x+\frac{10\pi }{2017} \right)=1$ .

Vậy $\min y=-1;maxy=4033$ .

Cách 2: sử dụng máy tính cầm tay.

Trong bốn phương án chỉ có hai giá trị $\max $là $4022;4033$ .

Chỉ có hai giá trị min là 1;-1.

Lúc này ta sử dụng chức năng SHIFT CALC để thử giá trị:

Ví dụ ta nhập vào màn hình \[2017\cos \left( 8x+\frac{10\pi }{2017} \right)+2016=4033\] ta thấy phương trình có nghiệm.

Tương tự nhập \[2017\cos \left( 8x+\frac{10\pi }{2017} \right)+2016=-1\] ta thấy phương trình có nghiệm.

Từ đây ta chọn B.

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=2{{\cos }^{2}}x-2\sqrt{3}\sin \text{x}\cos x+1$

           A. $\min y=0;maxy=4$                                          

           B. $\min y=1-\sqrt{3};maxy=3+\sqrt{3}.$

           C. $\min y=-4;maxy=0.$                                       

           D. $\min y=-1+\sqrt{3};maxy=3+\sqrt{3}$ .

Lời giải

Chọn A.

Để sử dụng tính bị chặn của hàm số ta sẽ đưa $y=2{{\cos }^{2}}x-2\sqrt{3}\sin \text{x}\cos x+1$ về theo $\sin u\left( x \right)$ hoặc $\cos u\left( x \right)$ .

Ta có $y=2{{\cos }^{2}}x-2\sqrt{3}\sin \text{x}\cos x+1$ $=2{{\cos }^{2}}x-1-\sqrt{3}\sin 2x+2$  $=\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x+2\left( * \right)$

$=2\left( \frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x \right)+2$ $=2\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)+2$

Mặt khác $-1\le 2\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)+2\le 4,\forall x\in \,R$ $\Leftrightarrow 0\le y\le 4,\forall x\in \,R$ 

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{\operatorname{s}\text{inx}+2\cos x+3}{2+\cos x}$

           A. $\min y=-\frac{2}{3};maxy=2$ .                                      

          

           C. $\min y=\frac{1}{2};maxy=\frac{3}{2}$                                        

           D. $\min y=-\frac{1}{2};maxy=\frac{3}{2}$

Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay

Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có thể sử dụng SHIFT SOLVE:  $\frac{\operatorname{s}\text{inx}+2\cos x+3}{2+\cos x}=2$ thì phương trình có nghiệm. Do 2 là số lớn nhất trong các phương án A;B;C;D nên ta không cần thử trường hợp \[\max =\frac{3}{2}\].

Lúc này chỉ còn A và B. Thử với $\min y=-\frac{2}{3}$ thì không có nghiệm.

Từ đây chọn B.

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt[4]{\operatorname{s}\text{inx}}-\sqrt{\cos x}$.

           A. $\min y=-1;maxy=1$.                                                                          

           B. $\min y=0;maxy=1$

           C. $\min y=-1;maxy=0$.                                    

           D. $\min y=-1;maxy$ không tồn tại.

Lời giải

Chọn B.

Cách 2 : sử dụng máy tính cầm tay

Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[y=\sqrt{1+\frac{1}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x}+\frac{1}{2}\sqrt{5+2{{\sin }^{2}}x}\]

A. \[1+\frac{\sqrt{5}}{2}\].                                  

B. \[\frac{\sqrt{22}}{2}\].                                    

C. \[\frac{\sqrt{11}}{2}\].                                    

D. \[1+\sqrt{5}\].

Lời giải

Chọn B.

Ta có \[y=\sqrt{1+\frac{1}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x}+\frac{1}{2}\sqrt{5+2{{\sin }^{2}}x}\Leftrightarrow y=\sqrt{1+\frac{1}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x}+\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}x}\]

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho \[\text{4}\] số: 1; 1; \[\sqrt{1+\frac{1}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x}\];\[\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}x}\] ta có:

\[1.\sqrt{1+\frac{1}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x}+1.\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}x}\le \sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{1+\frac{1}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x+\frac{5}{4}+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}x}=\sqrt{2}.\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{2.1}}=\frac{\sqrt{22}}{2}\]

Hay \[y\le \frac{\sqrt{22}}{2}\]

Dấu bằng xảy ra khi \[1+\frac{1}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}x=\frac{5}{4}+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}x\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\]

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hàm số \[y=\frac{1}{2-\cos x}+\frac{1}{1+\cos x}\] với \[x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]. Kết luận nào sau đây là đúng?

           A.  \[\underset{{}}{\mathop{\min y}}\,=\frac{4}{3}\] khi \[x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\]   

           B.  \[\underset{{}}{\mathop{\min y}}\,=\frac{2}{3}\] khi \[x=\frac{\pi }{3}\]

           C.  \[\underset{{}}{\mathop{\min y}}\,=\frac{2}{3}\] khi \[x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\] 

           D.  \[\underset{{}}{\mathop{\min y}}\,=\frac{4}{3}\] khi \[x=\frac{\pi }{3}\].

Câu 2: Cho \[x,y,z>0\] và \[x+y+z=\frac{\pi }{2}\]. Tìm giá trị lớn nhất của

$y=\sqrt{1+\tan x.\tan y}+\sqrt{1+\tan y.\tan z}+\sqrt{1+\tan z.\tan x}$

A. ${{y}_{\max }}=1+2\sqrt{2}$.                        

B. ${{y}_{\max }}=3\sqrt{3}$.                            

C. ${{y}_{\max }}=\sqrt{4}$.                              

D. ${{y}_{\max }}=2\sqrt{3}$.

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{\cot }^{4}}a+{{\cot }^{4}}b+2{{\tan }^{2}}a.{{\tan }^{2}}b+2$

A. $\min y=2$.                                                    

B. $\min y=6$.               

C. $\min y=4$.                                                     

D. Không tồn tại GTLN.

Câu 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2{{\cos }^{2}}x-2\sqrt{3}\sin x.\cos x+1$ trên đoạn $\left[ 0,\frac{7\pi }{12} \right]$ lần lượt là

A. .$\underset{{}}{\mathop{\min y}}\,=2;\underset{{}}{\mathop{\max y}}\,=3$                                            

B.$\underset{{}}{\mathop{\min y}}\,=0;\underset{{}}{\mathop{\max y}}\,=2$

C. $\underset{{}}{\mathop{\min y}}\,=0;\underset{{}}{\mathop{\max y}}\,=4$                       

D. $\underset{{}}{\mathop{\min y}}\,=0;\underset{{}}{\mathop{\max y}}\,=3$

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \[y={{\sin }^{2}}x-\sin x+2\].

           A. \[\min y=\frac{7}{4};\,\max y=4\].                 

           B. \[\min y=\frac{7}{4};\,\max y=2\].

C. \[\min y=-1;\,\max y=1\].                                

D. \[\min y=\frac{1}{2};\,\max y=2\].

Câu 6: Hàm số $y=4\sin x-4{{\cos }^{2}}x$ đạt giá trị nhỏ nhất là

           A. $-1$                           

           B. $-4$                           

           C. $\frac{-5}{4}$           

           D. $-5$

           Câu 7: Hàm số \[y=2\cos x+\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\] đạt giá trị lớn nhất là

           A. $5-2\sqrt{2}$            

           B. $5+2\sqrt{2}$            

           C. $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$ 

           D. $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+\sin x\cos x$ là

           A. $\frac{9}{8}$            

           B. 0                                 

           C. $1$                            

           D. $\frac{4}{3}$

Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}$ là

          A. $0$                            

          B. $\sqrt{2}$                  

          C. $\sqrt[4]{2}$             

          D. $\sqrt{6}$

Câu 10: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{{{\cos }^{2}}x+7{{\sin }^{2}}x}+\sqrt{{{\sin }^{2}}x+7{{\cos }^{2}}x}$ là

           A. $1+\sqrt{7}$             

           B. $-1+\sqrt{7}$            

           C. $4$                            

           D. $14$

Đáp án

1. D

2. D

3. B

4. B

5. A

6. D

7. C

8.B

9. A

10. C

 

Bài viết gợi ý: