Tích vô hướng và bài tập ứng dụng

TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ BÀI TẬP ỨNG DỤNG

A. Lý thuyết

I. Góc giữa hai vector

1. Định nghĩa

Cho hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ (khác $\overrightarrow{0}$). Từ điểm O bất kì vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$

Góc $\overset{\wedge }{\mathop{AOB}}\,$ với số đo từ ${{0}^{\circ }}$ đến ${{180}^{\circ }}$ gọi là góc giữa hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$

Kí hiệu: ($\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$) hay ($\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}$)

Đặc biệt: Nếu ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$)=90$^{0}$ thì ta nói  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$ hay$\overrightarrow{b}\bot \overrightarrow{a}$

Nếu  ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$)=0$^{0}$ thì $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$ 

Nếu ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$)=180$^{0}$ thì $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$

II. Định nghĩa tích vô hướng

Cho hai vector $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$là một số kí hiệu: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$và được xác ddiinhj bởi công thức:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.Cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

Chú ý:

* $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

* $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{\overrightarrow{a}}^{2}}$

* ${{\overrightarrow{a}}^{2}}$gọi là bình phương vô hướng của vector $\overrightarrow{a}$

* $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$âm hay dương phụ thuộc vào $Cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

II. Các tính chất của tích vô hướng:

Cho ba vector $\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c}$bất kì, với mọi số k ta có:

• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$
• $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$
• $(k.\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b}=k.(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.(k.\overrightarrow{b})$
• ${{\overrightarrow{a}}^{2}}\ge 0,\,{{\overrightarrow{a}}^{2}}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$

Nhận xét

 

III. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 vector  \[\overrightarrow{a\,}\,=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}} \right)\,\,\,;\,\overrightarrow{b\,}=\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}} \right)\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{a\,}.\overrightarrow{b\,}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}\]

Một số công thức cần nhớ :

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Tính tích vô hướng cảu hai vector

Phương pháp:

• Tính 
• Áp dụng công thức \[\overrightarrow{a\,},\overrightarrow{b\,}=\left| \overrightarrow{a\,} \right|\left| \overrightarrow{b\,} \right|\cos \left( \overrightarrow{a\,};\overrightarrow{b\,} \right)\]

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A  có AB =AC = a . Tính \[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\,\,\,;\,\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}\]

Giải:

\[AB\bot AC=>\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\,\,\,\,\,\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA.CB\cos {{45}^{0}}\,\,-{{a}^{2}}\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}=-{{a}^{2}}\]

Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vô hướng hay đẳng thức các độ dài

Phương pháp:

• Sử dụng các phép toán về vec tơ và các tính chất của tích vô hướng
• Về độ dài ta chú ý :AB² =\[{{\overrightarrow{AB}}^{2}}\]

Câu 2: Cho tam giác ABC .  và M là một điểm bất kỳ . 1.Chứng minh rằng \[\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC.}\overrightarrow{AB}=0\] 2.Gọi G là trọng tâm tam giác chứng minh \[M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}\] 3.Suy ra \[G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=\frac{1}{3}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\,\,\,\] với a ; b ;c là độ dài 3 cạnh của tam giác

Giải:

Dạng 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x₁;y₁) B(x₂;y₂) và C(x₃;y₃) .Xác định hình dạng của tam giác ABC.

Phương pháp:

• Tính \[AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}\,\,\,BC=\sqrt{{{\left( {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{3}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}}\,\,\,\,\,\,CA=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{3}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{3}} \right)}^{2}}}\]
• Nếu AB = BC = CA =>Tam giác ABC đều
• Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân
• Nếu AB = AC và BC = ABÖ2   => Tam giác ABC vuông cân tại B
• Nếu BC²=AB² +AC² =>tam giác ABC vuông tại A

Câu 3: Trong mpOxy cho A(4;0)  \[B\left( 2;2\sqrt{3} \right)\] Chứng minh tam giac OAB đều . .Tìm trực tâm của tam giác OAB

Giải:

\[=>\Delta OAB\,\]đều

Trực tâm H của tam giác OAB cũng là trọng tâm của tam giác\[\text{ OAB }=>\text{ H}\left( \text{2;}\frac{\text{2}\sqrt{\text{3}}}{3} \right)\]

Dạng 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x₁;y₁) B(x₂;y₂) và C(x₃;y₃) .Xác định trọng tâm  G , trực tâm H  và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp:

• Trọng tâm G \[\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{3};\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}}{3} \right)\]
• Tìm trọng tâm H

1. Gọi $H\left( x;y \right)$ là trực tiếp tâm của tam giác ABC
2. Tính , \[\overrightarrow{AH}=\left( x-{{x}_{1}};y-{{y}_{1}} \right)\,\]Tính \[\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}\,\]Tính \[\,BH=(x-{{x}_{2}};y-{{y}_{2}})\]\[;\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}\]

Do H là trực tâm . Giải hệ tìm x, y

• Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1. Gọi I(x;y). Tính AI²=(x-x₁)²+(y–y₁)²   BI²=(x-x₂)²+(y–y₂)²    CI²=(x-x₃)²+(y–y₃)²
2. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC óAI = BI =CI
3. Giải hệ trên tìm x,y

Câu 4: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) và C(–2 ;–1) . a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang.

Giải:

a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \[=>\text{G}\left( \frac{\text{5}+\text{2-2}}{\text{3}};\frac{4+7-1}{3} \right)=G\left( \frac{5}{3};\frac{10}{3} \right)\]

Gọi \[H(x;y\,)\]là trực tâm tam giác ABC

H là trực tâm tâm tam giác 

Gọi $I(x;y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b. \[\overrightarrow{IG}=\left( 1;\frac{2}{3} \right)\,\,\,\,\overrightarrow{IH}=\left( 3;2 \right)=3\left( 1;\frac{2}{3} \right)=3\overrightarrow{IG}=>I;G;H\]thẳng hàng

Dạng 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x₁;y₁) B(x₂;y₂) và C(x₃;y₃) .Xác định  tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Phương pháp:

• Tính AB ;AC; k =-AB/AC
• Gọi D là giao điểm đường phân giác trong của góc A với cạnh BC\[=>\overrightarrow{DB}=k\overrightarrow{DC}=>\,\]tọa độ của D
• Tính BA và BD =k’= –BA/BD
• Gọi J là giao điểm của 2 đường phân giác trong của góc A và góc B =>\[\overrightarrow{JA}=k'\overrightarrow{JD}\,\,\,\]=>tọa độ của J

Câu 5: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–2;3)  B\[\left( \frac{1}{4};0 \right)\]   và C(2;0) Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

\[AB=\frac{15}{4};AC=5=>k=-\frac{AB}{AC}=-\frac{3}{4}\]

Gọi D là giao điểm phân giác trong của góc A và BC \[=>\overrightarrow{\text{DB}}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{DC}\]

\[BA=\frac{15}{4};BD=\frac{3}{4}=>k'=-5\]

Gọi J là giao điểm phân giác trong của góc B và AD $\Rightarrow JA=-5JD$

Dạng 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x₁;y₁) B(x₂;y₂) và C(x₃;y₃).Gọi A’ là chân đường vuông góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’

Phương pháp: Gọi A’(x;y)

• Tính \[\overrightarrow{AA'}=(x-{{x}_{1}};y-{{y}_{1}})\,\,\,\,;\overrightarrow{BC}=({{x}_{3}}-{{x}_{2}};{{y}_{3}}-{{y}_{2}})\,\,\,\,\overrightarrow{BA'}=(x-{{x}_{2}};y-{{y}_{2}})\]

Giải hệ: 

• Tìm x, y theo t, thay vào (1) tìm t từ đó suy ra x và y

Câu 6: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1 ; 5)  B(3;–1)  C(6;0).Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA.

Giải: 

Dạng 7: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x₁;y₁) B(x₂;y₂) và C(x₃;y₃),Tính cosA

Phương pháp:

• Tính \[\overrightarrow{\text{AB}\,}\text{; }\,\overrightarrow{\text{AC}}\]
• Tính AB và AC
• Tính \[\overrightarrow{AB.}\overrightarrow{AC}\]
• \[CosA=\frac{\overrightarrow{AB.}\overrightarrow{AC}}{AB.AC}\]

Câu 7: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3)  B(2;2) và  C(–6;1).Tínhsố đo của góc A.

Giải:

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền BC = aÖ3 .Gọi M là trung điểm của BC biết \[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\,\,\,.\]Tính AB và AC

Câu 2: Cho tam giác ABC với A(1;0)  B(–2;–1) và C(0;3).Xác định hình dạng của tam giác ABC .Tìm Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) và C(m+3; 1)  .Định m để tam giác ABC vuông tại A.

Câu 4: Cho 2 điểm A (2 ; –1) và B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ là 2 và tam giác ABM vuông tại C .

Câu 5: Trong mpOxy cho 2 điểm A(2;4) và B(1 ; 1) . Tìm điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B.

Câu 6: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3)  B(2;5)  và C(4;0).Xác định trực tâm H của tam giác ABC.

Câu 7: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4)  B(–4;0)  C(2;–2) . Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 8: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) và C(1;5) .Tìm trực tâm H của tam giác ABC .

Câu 9: Trong mpOxy cho tam giác ABC với\[A\left( \frac{-15}{2};2 \right)\,\,\,B(12;15)\,\,\,C(0;-3)\]Tìm tâm J của đương tròn nội tiếp tam giác ABC  .

Câu 10: Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4)  B(–4;–2) và C(1;3) .Tìm chân đường cao A’ của đường cao kẻ từ A lên BC.

Đáp số:

Câu 1: \[\text{AB}=\text{a}\sqrt{\text{2}}\,\,\,\,\,AC=a\]

Câu 2: Vuông tại A  , Tâm I (–1;1)

Câu 3: m = –1 hay m =-2

Câu 4: M(1;2) và M(–1;2)

Câu 5: C(4;0) và C(–2;2)

Câu 6:\[H\left( \frac{164}{31};-\frac{15}{31} \right)\]

Câu 7: \[I\left( \frac{-1}{2};\frac{1}{2} \right)\]

Câu 8: \[H\left( \frac{21}{11};\frac{25}{11} \right)\]

Câu 9:  J(-1;2)

Câu 10: A’\[\left( -\frac{37}{53};-\frac{156}{53} \right)\]

Bài viết gợi ý: