Phép quay

PHÉP QUAY

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳn cho điêm O cố định và góc lượng giác α không đổi. Phép biến hình biến mối điểm $M$ thành điểm ${{M}^{'}}$ sao cho $OM=O{{M}^{'}}$và $\left( O{{M}^{'}},OM \right)=\alpha $ được gọi là phép quay tâm O góc quay α

Kí hiệu: , (O là tâm góc quay, α là góc quay lượng giác ) .

Nhân xét :

Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác ( quay ngược chiều quay của kim đồng hồ) và chiều âm là chiều ngược lại.
: là phép đồng nhất.

: là phép đối xứng tâm O

2. Tính chất

Tính chất 1: Phép quay là một phép dời hình ( bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ)

Tính chất 2: Phép quay biến :

Đường thẳng thành đường thẳng,
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với nó,
Tam giác thàng tam giác bằng với nó,
Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng toạ độ \[Oxy\]cho điểm \[M\left( x;y \right)\]và góc lượng giác \[\varphi \]

Gọi điểm \[M\left( x;y \right)\].

Đặt : \[OM=r\]và góc lượng giác \[\left( Ox,OM \right)=\alpha \]

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép quay

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép quay
Xác định ảnh của một điểm hoắc một hình qua phép quay
Tìm quỹ tích điểm thông qua phép quay
Các yếu tố liên quan đến phép quay là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,.. từ đó ứng dụng phép quay để giải các bài toán hình học khác.

Câu 1: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O, góc quay $\alpha \ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

A. Không có B. Một C. Hai D. Vô số

Giải:

Khi và khi $M\equiv O$ tâm quay

Chọn B

Câu 2: Cho tam giác đều có tâm O. Phép quay tâm O, góc quay $\varphi $biến tam giác đều thành chính nó thì góc quay $\varphi $là góc nào sau đây

A. $\frac{2\pi }{3}$ B. $\frac{\pi }{3}$ C. $\frac{3\pi }{2}$ D. $\frac{\pi }{2}$

Giải:

Chọn A

Câu 3: Trên một chiếc đồng hồ từ lúc 12h đến 15h kim giờ và kim phút đã quay một góc bao nhiêu độ?

A. $-{{360}^{\circ }},{{1080}^{\circ }}$ B. $-{{90}^{\circ }},-{{1080}^{\circ }}$

C.$-{{45}^{\circ }},-{{1080}^{\circ }}$ D. ${{180}^{\circ }},-{{1080}^{\circ }}$.

Giải:

- Kim giờ quay một góc -90⁰

- Kim phút quay một góc -3.360⁰= -1080⁰

Chọn B

Dạng 2: Xác định ảnh của điểm, đường qua phép quay bằng phương pháp tạo độ

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ \[\text{O}xy\], qua phép quay tâm O, goác quay ${{90}^{\circ }}$ biến điểm $M\left( -3;5 \right)$ thành điểm nảo?

A. $\left( 3;4 \right)$ B.$\left( -5;-3 \right)$ C.$\left( 5;-3 \right)$ D. $\left( -3;-5 \right)$

Giải:

Cách 1: Dùng biểu thức tọa độ

Cách 2: Vẽ biểu thức tạo độ của điểm trên hệ trục $Oxy\Rightarrow {{M}^{'}}(-5;-3)$

Cách 3: Ta có:

Nhận xét: Độc giả vận dụng cách 1 nhanh hơn, các cách 2 và 3 khá dễ hiểu nhưng dài dòng và dễ gây mất thời gian

Chọn B

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng $a$ và $b$ có phương trình lần lượt là $4x+3y+5=0$ và $x+7y-4=0.$ Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay $\varphi$ $\left( 0\le \varphi \le {{180}^{0}} \right)$ là:

A. ${{45}^{\circ }}$ B.${{60}^{0}}$ C.${{90}^{0}}$ D. ${{120}^{0}}$

Giải:

Đường thẳng $a:4x+3y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{a}}}=\left( 4;3 \right).$

Đường thẳng $b:x+7y-4=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{b}}}=\left( 1;7 \right).$

Góc $\alpha$ là góc tạo bởi $a$ và $b$ ta có

Chọn A

Câu 3: Cho tam giác đều $ABC$ có tâm $O$ và các đường cao $AA',\text{ }BB',\text{ }CC'$ (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của đường cao $AA'$ qua phép quay tâm $O$ góc quay ${{240}^{0}}$ là:

A. \[A{{A}^{'}}\] B.\[B{{B}^{'}}\] C.\[C{{C}^{'}}\] D. \[D{{D}^{'}}\]

Giải:

Do tam giác $ABC$ đều nên $\widehat{A'OB'}=\widehat{B'OC'}=\widehat{C'OA'}={{120}^{0}}$.

Khi đó xét phép quay tâm $O$ góc quay ${{240}^{0}}:$

$\bullet $ Biến $A$ thành $B;$

$\bullet $ Biến $A'$ thành $B'.$

Vậy ảnh của $AA'$ là $BB'.$

Chọn B

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và góc tại $A$ bằng ${{60}^{0}}$ (các đỉnh của tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều $ACD.$ Ảnh của cạnh $BC$ qua phép quay tâm $A$ góc quay ${{60}^{0}}$ là:

A. $AD.$

B. $AI$ với $I$ là trung điểm của $CD.$

C. $CJ$ với $J$ là trung điểm của $AD.$

D. $DK$ với $K$ là trung điểm của $AC.$

Giải:

Từ giả thiết suy ra $ABC$ là nữa tam giác đều, do đó $AC=2AB.$

Xép phép quay tâm $A$ góc quay ${{60}^{0}}$, ta có:

$\bullet $ Biến $B$ thành $K$

$\bullet $ Biến $C$ thành $D.$

Vậy ảnh của $BC$ là $KD.$

Chọn D

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \[M\left( -2;2 \right)\]. Ảnh của M qua phép quay \[{{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}}\] có tọa độ:

A. \[\left( 2;-2 \right)\] B. \[\left( 2;2 \right)\] C. \[\left( -2;2 \right)\] D. \[\left( -2;-2 \right)\]

Câu 2: Chọn 12 giờ làm gốc, khi kim phút chỉ 2 phút thì kim giây đã quay một góc:

A. \[{{180}^{0}}\] B. \[{{360}^{0}}\] C. \[{{540}^{0}}\] D. \[{{720}^{0}}\]

Câu 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Phép quay tâm O góc quay \[-{{270}^{0}}\] biến \[\Delta OAB\] thành:

A. \[\Delta OAB\] B. \[\Delta OAD\] C. \[\Delta ODC\] D. \[\Delta OCB\]

Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Phép quay nào biến \[\Delta OEF\] thành \[\Delta OCD\]:

A. \[{{Q}_{\left( O,-{{120}^{0}} \right)}}\] B. \[{{Q}_{\left( O,{{240}^{0}} \right)}}\] C. \[{{Q}_{\left( O,-{{240}^{0}} \right)}}\] D. \[{{Q}_{\left( O,{{300}^{0}} \right)}}\]

Câu 5: Trong mp(Oxy) cho điểm M(1;1). Điểm nào sau đây là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc 45⁰?

A.$(0;\sqrt{2})$ B. (−1;1) C. (1;0) D. ($\sqrt{2}$;0)

Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d):\[2xy+1=0\]. Tìm toạ độ của I để phép quay tâm I góc quay $2017\pi $ biến d thành chính nó.

A. (2;1) B. (2;−1) C. (1;0) D. (0;1)

Câu 7: Cho hình vuông ABCD tâm O. Phép quay nào sau đây biến hình vuông thành chính nó?

A. \[{{Q}_{\left( A;{{90}^{O}} \right)}}\] B. \[{{Q}_{\left( O;{{90}^{O}} \right)}}\] C. \[{{Q}_{\left( A;{{45}^{O}} \right)}}\] D. \[{{Q}_{\left( O;{{45}^{O}} \right)}}\]

Câu 8: Cho tam giác đều ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Với giá trị nào sau đây của góc $\varphi $ thì phép quay biến tam giác đều ABC thành chính nó?

A. $\varphi =\frac{\pi }{3}$. B. $\varphi =\frac{\pi }{2}$. C. $\varphi =\frac{\pi }{6}$. D. $\varphi =\frac{2\pi }{3}$.

Câu 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm O, góc quay 120 độ?

A. Tam giác AOB B. Tam giác BOC C. Tam giác DOC D. Tam giác EOD

Câu 10: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình\[2x-y+1=0\]. Để phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}$ biến đường thẳng d thành chính nó thì $\overrightarrow{v}$ phải là vectơ nào sau đây?

$A.\,\,\overrightarrow{v}=(2;1)B.\,\,\overrightarrow{v}=(1;2)C.\,\,\overrightarrow{v}=(-1;2)D.\,\,\overrightarrow{v}=(2;-1)$

Đáp án bài tập tự luyện