PHÉP QUAY

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳn cho điêm O cố định và góc lượng giác α không  đổi. Phép biến  hình biến mối điểm MM  thành điểm M{{M}^{'}} sao cho OM=OMOM=O{{M}^{'}}(OM,OM)=α\left( O{{M}^{'}},OM \right)=\alpha được gọi là phép quay tâm O góc quay α

Kí hiệu: , (O là tâm góc quay, α là góc quay lượng giác ) .

Nhân xét :

  • Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác ( quay ngược chiều quay của kim đồng hồ) và chiều âm là chiều ngược lại.
  • : là phép đồng nhất.

  • : là phép đối xứng tâm O

2. Tính chất

​​​​​​​Tính chất 1: Phép quay là một phép dời hình ( bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ)

Tính chất 2: Phép quay biến :

  1. Đường thẳng thành đường thẳng,
  2. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với nó,
  3. Tam giác thàng tam giác bằng với nó,
  4. Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng toạ độ OxyOxycho điểm M(x;y)M\left( x;y \right)và góc lượng giác φ\varphi

Gọi điểm M(x;y)M\left( x;y \right).

Đặt : OM=rOM=rvà góc lượng giác (Ox,OM)=α\left( Ox,OM \right)=\alpha  

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép quay

Phương pháp:

  • Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép quay
  • Xác định ảnh của một điểm hoắc một hình qua phép quay
  • Tìm quỹ tích điểm thông qua phép quay
  • Các yếu tố liên quan đến phép quay là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,.. từ đó ứng dụng phép quay để giải các bài toán hình học khác.

Câu 1: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O, góc quay αk2π,kZ\alpha \ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}

A. Không có                            B. Một                           C. Hai                             D. Vô số

Giải:

Khi  và khi MOM\equiv O tâm quay

Chọn B

Câu 2: Cho tam giác đều có tâm O. Phép quay tâm O, góc quay φ\varphi biến tam giác đều thành chính nó thì góc quay φ\varphi là góc nào sau đây

A. 2π3\frac{2\pi }{3}                          B. π3\frac{\pi }{3}                            C. 3π2\frac{3\pi }{2}                     D. π2\frac{\pi }{2}

Giải:

Chọn A

Câu 3: Trên một chiếc đồng hồ từ lúc 12h đến 15h kim giờ và kim phút đã quay một góc bao nhiêu độ?

 

A. 360,1080-{{360}^{\circ }},{{1080}^{\circ }}            B. 90,1080-{{90}^{\circ }},-{{1080}^{\circ }}                           

C.45,1080-{{45}^{\circ }},-{{1080}^{\circ }}                       D. 180,1080{{180}^{\circ }},-{{1080}^{\circ }}.

Giải:

- Kim giờ quay một góc -900

- Kim phút quay một góc -3.3600 = -10800

Chọn B

Dạng 2: Xác định ảnh của điểm, đường qua phép quay bằng phương pháp tạo độ

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy\text{O}xy, qua phép quay tâm O, goác quay 90{{90}^{\circ }} biến điểm M(3;5)M\left( -3;5 \right) thành điểm nảo?

A. (3;4)\left( 3;4 \right)                          B.(5;3)\left( -5;-3 \right)                         C.(5;3)\left( 5;-3 \right)                          D. (3;5)\left( -3;-5 \right)

Giải:

Cách 1: Dùng biểu thức tọa độ 

Cách 2: Vẽ biểu thức tạo độ của điểm trên hệ trục OxyM(5;3)Oxy\Rightarrow {{M}^{'}}(-5;-3)

Cách 3: Ta có:

Nhận xét: Độc giả vận dụng cách 1 nhanh hơn, các cách 2 và 3 khá dễ hiểu nhưng dài dòng và dễ gây mất thời gian

Chọn B

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy cho hai đường thẳng aabb có phương trình lần lượt là 4x+3y+5=04x+3y+5=0x+7y4=0.x+7y-4=0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay φ\varphi (0φ1800)\left( 0\le \varphi \le {{180}^{0}} \right) là:

     A. 45{{45}^{\circ }}                         B.600{{60}^{0}}                      C.900{{90}^{0}}                      D. 1200{{120}^{0}}

Giải:

Đường thẳng a:4x+3y+5=0a:4x+3y+5=0 có vectơ pháp tuyến na=(4;3).\overrightarrow{{{n}_{a}}}=\left( 4;3 \right).

Đường thẳng b:x+7y4=0b:x+7y-4=0 có vectơ pháp tuyến nb=(1;7).\overrightarrow{{{n}_{b}}}=\left( 1;7 \right).

Góc α\alpha là góc tạo bởi aabb ta có

Chọn A

Câu 3: Cho tam giác đều ABCABC có tâm OO và các đường cao AA, BB, CCAA',\text{ }BB',\text{ }CC' (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của đường cao AAAA' qua phép quay tâm OO góc quay 2400{{240}^{0}} là:

A. AAA{{A}^{'}}                             B.BBB{{B}^{'}}                      C.CCC{{C}^{'}}                     D. DDD{{D}^{'}}

Giải:

Do tam giác ABCABC đều nên  AOB^=BOC^=COA^=1200\widehat{A'OB'}=\widehat{B'OC'}=\widehat{C'OA'}={{120}^{0}}.

Khi đó xét phép quay tâm OO góc quay 2400:{{240}^{0}}:

\bullet Biến AA thành B;B;

\bullet Biến AA' thành B.B'.

Vậy ảnh của AAAA'BB.BB'.

Chọn B

Câu 4: Cho tam giác ABCABC vuông tại BB và góc tại AA bằng 600{{60}^{0}} (các đỉnh của tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều ACD.ACD. Ảnh của cạnh BCBC qua phép quay tâm AA góc quay 600{{60}^{0}} là:

     A. AD.AD.

     B. AIAI với II là trung điểm của CD.CD.

     C. CJCJ với JJ là trung điểm của AD.AD.

     D. DKDK với KK là trung điểm của AC.AC.

 

Giải:

Từ giả thiết suy ra ABCABC là nữa tam giác đều, do đó AC=2AB.AC=2AB.

Xép phép quay tâm AA góc quay 600{{60}^{0}}, ta có:

\bullet Biến BB thành KK

\bullet Biến CC thành D.D.

Vậy ảnh của BCBCKD.KD.

Chọn D

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(2;2)M\left( -2;2 \right). Ảnh của M qua phép quay Q(O,900){{Q}_{\left( O,{{90}^{0}} \right)}} có tọa độ:

A. (2;2)\left( 2;-2 \right)                        B. (2;2)\left( 2;2 \right)                         C. (2;2)\left( -2;2 \right)                             D. (2;2)\left( -2;-2 \right)

Câu 2: Chọn 12 giờ làm gốc, khi kim phút chỉ 2 phút thì kim giây đã quay một góc:

A. 1800{{180}^{0}}                            B. 3600{{360}^{0}}                            C. 5400{{540}^{0}}                             D. 7200{{720}^{0}}

Câu 3: Cho hình vuông ABCD tâm O. Phép quay tâm O góc quay 2700-{{270}^{0}} biến ΔOAB\Delta OAB thành:

A. ΔOAB\Delta OAB                     B. ΔOAD\Delta OAD                     C. ΔODC\Delta ODC                     D. ΔOCB\Delta OCB

Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Phép quay nào biến ΔOEF\Delta OEF thành ΔOCD\Delta OCD:

A. Q(O,1200){{Q}_{\left( O,-{{120}^{0}} \right)}}                           B. Q(O,2400){{Q}_{\left( O,{{240}^{0}} \right)}}                       C. Q(O,2400){{Q}_{\left( O,-{{240}^{0}} \right)}}                            D. Q(O,3000){{Q}_{\left( O,{{300}^{0}} \right)}}

Câu 5: Trong mp(Oxy) cho điểm M(1;1). Điểm nào sau đây là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc 450?

A.(0;2)(0;\sqrt{2})            B. (−1;1)                        C. (1;0)                          D. (2\sqrt{2};0)

Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d):2xy+1=02xy+1=0. Tìm toạ độ của I  để phép quay tâm  I góc quay 2017π2017\pi biến d thành chính nó.

A. (2;1)                          B. (2;−1)                        C. (1;0)                          D. (0;1)

Câu 7: Cho hình vuông ABCD tâm O. Phép quay nào sau đây biến hình vuông thành chính nó?

A. Q(A;90O){{Q}_{\left( A;{{90}^{O}} \right)}}         B. Q(O;90O){{Q}_{\left( O;{{90}^{O}} \right)}}  C. Q(A;45O){{Q}_{\left( A;{{45}^{O}} \right)}}              D. Q(O;45O){{Q}_{\left( O;{{45}^{O}} \right)}}

Câu 8: Cho tam giác đều ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Với giá trị nào sau đây của góc φ\varphi thì phép quay  biến tam giác đều ABC thành chính nó?

A. φ=π3\varphi =\frac{\pi }{3}.                               B. φ=π2\varphi =\frac{\pi }{2}.   C. φ=π6\varphi =\frac{\pi }{6}.                                                  D. φ=2π3\varphi =\frac{2\pi }{3}.

Câu 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm O, góc quay 120 độ?

A. Tam giác AOB          B. Tam giác BOC          C. Tam giác DOC            D. Tam giác EOD

Câu 10: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình2xy+1=02x-y+1=0. Để phép tịnh tiến theo v\overrightarrow{v} biến đường thẳng d thành chính nó thì v\overrightarrow{v} phải là vectơ nào sau đây?

A.  v=(2;1)B.  v=(1;2)C.  v=(1;2)D.  v=(2;1)A.\,\,\overrightarrow{v}=(2;1)B.\,\,\overrightarrow{v}=(1;2)C.\,\,\overrightarrow{v}=(-1;2)D.\,\,\overrightarrow{v}=(2;-1)

Đáp án bài tập tự luyện

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

D

D

C

A

A

B

C

C

B

 

 

 

 

Bài viết gợi ý: