Phép đối xứng tâm

I.Lý thuyết:

a.Định nghĩa:

Cho điểm I. Phép biến hình biến điêm M thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.
Khi M trùng tâm I, thì phép đối xứng tâm biến I thành chính nó.
I được gọi là tâm, ký hiệu Đ_I.

b.Tính chất:

+ Phép đối xứng tâm là một phép dời hình, nên có đầy đủ tính chất của phép dời hình
+ M’ là ảnh qua phép đối xứng tâm I của M <=> M là ảnh của M’ qua phép đối xứng tâm I
+ I là tâm của hình H <=>Đ_I(H) = H

c. Biểu thức tọa độ:

II. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.

Giải:

• Ảnh của d qua phép đối xứng tâm Đ_o là đường thẳng d’ song song với d và đi qua điểm B’(3; 0).

*d’ // d nên phương trình của d’ có dạng x – 2y + C = 0 (C ≠ 3)

*d’ qua B’(3; 0) nên 3 – 3.(0) + C = 0 C = -3

Vậy phương trình của d’ là x – 2y – 3 = 0.

Bài 2: Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm, đối xứng ?

Giải:

• Tam giác đều và ngũ giác dều không có tâm đối xứng.

* Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

* Hình lục giác đều có tâm đối xứng, đó là tâm đường tròn ngoại tiếp hình lục giác đều.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A'(2;3). Tìm tọa độ của điểm A biết A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm I(2;4).

Gọi tọa độ của điểm A là: A(x;y)

Vậy tọa độ của điểm A là: A(2;5)

III. Bài tập tự luyện:

Câu 1.Đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?

A. Không có B. Một C. Hai D. Vô số

Câu 2. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M(x; y) thành M’(x’; y’) thì ta có biểu thức Hai điểm I(1; 2) và M(3; –1). Hỏi điểm nào là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I?

A. (2; 1) B. (–1; 5) C. (–1; 3) D. (5; –4)

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x = 2. Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O?

A. x = –2 B. y = 2 C. x = 2 D. y = –2

Câu 4. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.

B. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.

C. Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.

D. Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x – y + 4 = 0. Hỏi trong các đường thẳng sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm?

A. 2x + y – 4 = 0 B. x + y – 1 = 0 C. 2x – 2y + 1 = 0 D. 2x + 2y – 3 = 0

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0, tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I (1; 2).

A. x + y + 4 = 0; B. x + y – 4 = 0; C. x – y + 4 = 0; D. x – y – 4 = 0.

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho phép đối xứng tâm I(1; –2) biến điểm M(2; 4) thành M^/ có tọa độ là:

A. M^/(–4; 2) B. M^/(–4; 8) C. M^/(0; 8) D. M^/(0; –8)

Câu 8. Một hình (H) có tâm đối xứng nếu và chỉ nếu:

A. Tồn tại phép đối xứng tâm biến hình (H) thành chính nó.

B. Tồn tại phép đối xứng trục biến hình (H) thành chính nó.

C. Hình (H) là hình bình hành

D. Tồn tại phép dời hình biến hình (H) thành chính nó.

Câu 9. Hình nào sau đây không có tâm đối xứng?

A. Hình vuông B. Hình tròn C. Hình tam giác đều D. Hình thoi

Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của điểm A(5; 3) qua phép đối xứng tâm I(4; 1).

A. (5; 3) B. (–5; –3) C. (3; –1) D. \[\left( \frac{9}{2};2 \right)\]