Hàm số lượng giác cơ bản (tanx và cotx)

Hàm số lượng giác cơ bản

A. Lý thuyết

I. Hàm số tanx

Định nghĩa: \[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\].
Tập xác định: \[\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}\].
Tập giá trị \[\mathbb{R}\].
Hàm số tuần hoàn với chu kì \[\pi \].
y=tanx là hàm số lẻ, đoò thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận \[x=\frac{\pi }{2}+k\pi \] là tiệm cận đứng.

II. Hàm số cot

Định nghĩa: \[\cot \text{x}=\frac{\cos x}{\sin x}\].
Tập xác định: \[\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}\].
Tập giá trị R.
Hàm số tuần hoàn với chu kì \[\pi \] .
y=cotx là hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng \[x=k\pi \] làm tiệm cận đứng.

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Hàm số \[y=\tan \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{4} \right)\] có tập xác định là

A. \[\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\] B. \[\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\]

C. \[\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\] D. \[\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\]

Lời giải: Chọn D.

Theo lý thuyết, tập xác định là \[\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow \frac{x}{2}\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi \Leftrightarrow x\ne \frac{3\pi }{2}+k2\pi \].

Câu 2: Tập xác định hàm số \[y=\cot \left( 2\text{x}-\frac{\pi }{3} \right)+2\].

A. \[\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2} \right\}\] B. \[\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\frac{\pi }{2} \right\}\] C. \[\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{3}+k\frac{\pi }{2} \right\}\] D. \[\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2} \right\}\]

Lời giải: Chọn A.

\[2\text{x}-\frac{\pi }{3}\ne k\pi \Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\].

Câu 3: Hàm số \[y=\frac{\tan 3\text{x}}{{{\sin }^{3}}x}\] là hàm số?

A. Hàm chẵn B. Hàm lẻ

C. Hàm không chẵn, lẻ D. Xác định trên R

Lời giải: Chọn A.

\[f\left( -x \right)=\frac{\tan \left( -3\text{x} \right)}{{{\sin }^{3}}\left( -x \right)}=\frac{\tan 3\text{x}}{{{\sin }^{3}}x}=f\left( x \right)\]. Vậy y là hàm số chẵn.

Câu 4: Hàm số nào sau đây có giá trị lớn nhất bằng 2

A. y=tanx-cotx B. y=2tanx

C. \[y=\sqrt{2}\left( \cos x-\sin x \right)\] D. \[y=\sin \left( 16x \right)\]

Lời giải: Chọn C.

\[y=\sqrt{2}\left( \cos x-\sin x \right)\le \sqrt{2}.\sqrt{2}=2\].

Câu 5: Đồ thị sau là của hàm số nào?

A. \[y=\tan \left( \frac{x}{2} \right)\] B. \[y=\cot \left( \frac{x}{2} \right)\] C. \[y=\cot \left( \frac{3x}{2} \right)\] D. y=tanx

Lời giải: Chọn A.

Nhìn dáng đồ thị theo lý thuyết đây là hàm số tan, nên loại B, C. Quan sát đồ thị ta thấy được chu kì của hàm số là \[2\pi \] .Nên A là đáp án đúng.

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Tập xác định của hàm số y=cotx+tanx là

A. B.

C. \[\left\{ x\in \mathbb{R}|x\ne k\frac{\pi }{4} \right\}\] D. \[\left\{ x\in \mathbb{R}|x\ne k\frac{\pi }{2} \right\}\]

Câu 2: Tập xác định của hàm số \[y=\cot \text{x+}\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\] là:

Câu 3: Chu kì hàm số \[y=\cot x+\cot \frac{x}{2}+\cot \frac{x}{3}\] là

A. \[T=2\pi \] B. \[T=6\pi \] C. \[T=8\pi \] D. \[T=10\pi \]

Câu 4: Chu kì hàm số \[y=\cos \pi x+tan\frac{x}{\pi }\].

A. \[T=2\pi \] B. \[T=6\pi \] C. \[T=8\pi \] D. Không có chu kì

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ

A. y=|tanx| B. y=cot3x C. y=tan2x.sinx D. y=cosx

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=3-tanx trên đoạn \[\left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3} \right]\]

A. \[3-\sqrt{3}\] B. 1 C. 2 D. 3

Câu 7: Hàm số y=tan16x đồng biến trên khoảng nào?

A. \[\left( -\frac{\pi }{32}+k\frac{\pi }{16};\frac{\pi }{32}+k\frac{\pi }{16} \right)\] B. \[\left( -\frac{\pi }{32}+k\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{32}+k\frac{\pi }{4} \right)\]

C. \[\left( -\frac{\pi }{32}+k\frac{3\pi }{4};\frac{\pi }{32}+k\frac{3\pi }{4} \right)\] D. \[\left( -\frac{\pi }{2}+k\frac{3\pi }{4};\frac{\pi }{2}+k\frac{3\pi }{4} \right)\]

Câu 8: Đồ thị sau là của hàm số nào?