Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at+b=0, trong đó a, b là các hằng số \[\left( a\ne 0 \right)\] và là một trong các hàm số lượng giác.

II. Cách giải

Ta biến đổi at+b=0\[\Leftrightarrow t=-\frac{b}{a}\]. Trong đó t là hàm số lượng giác.
Chú ý: Một số dạng khác có thể qua nhiều bước biến đổi sẽ đưa về được phương trình bậc nhất.

B. Bài tập

Câu 1: Nghiệm của phương trình 2sinx-3=0 là

A.\[\frac{\pi }{2}\] B. \[\frac{\pi }{3}\] C. \[\frac{\pi }{6}\] D. Vô nghiệm

Lời giải: Chọn D.

2sinx-3=0\[\Leftrightarrow \sin x=\frac{3}{2}\]. Mà tập giá trị của sinx là [-1;1] . Nên không có nghiệm x thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 2: Một nghiệm của phương trình cos3x=cos12.

A. x=4 B. x=5 C. x=6 D. x=7

Lời giải: Chọn A.

. Vậy với k=0 thì ở tập nghiệm thứ nhất x=4.

Câu 3: Giải phương trình 5cosx-2sin2x=0.

A. \[x=\frac{\pi }{2}+k\pi \] B. x=1 C. x=\[\pi \] D. x=-1

Lời giải: Chọn A.

5cosx-2sin2x=0\[\Leftrightarrow 5\cos x-4\operatorname{sinxcosx}=0\Leftrightarrow cosx\left( 5-4\sin x \right)=0\Leftrightarrow \cos x=0\] (Vì \[5-4\sin x=0\Leftrightarrow \sin x=\frac{5}{4}\]. Mà sinx chỉ thuộc [-1;1]. Nên vô nghiệm). Vậy cosx=0\[\Leftrightarrow \]\[x=\frac{\pi }{2}+k\pi \].

Câu 4: Giải phương trình 8sinxcosxcos2x=-1.

Lời giải: Chọn C.

\[8\operatorname{sinxcosxcos}2x=-1\Leftrightarrow 4sin2xcos2x=-1\Leftrightarrow 2sin4x=-1\Leftrightarrow sin4x=-\frac{1}{2}\] .

Câu 5: Nghiệm của phương trình 2sin2x+$\sqrt{2}\sin 4\text{x}=0$ .

Lời giải: Chọn B.

\[2sin2x+\sqrt{2}\sin 4\text{x}=0\Leftrightarrow 2\sin 2\text{x}+2\sqrt{2}\sin 2\text{x}\cos 2x=0\Leftrightarrow 2\sin 2x\left( 1+\sqrt{2}\cos 2x \right)=0\] .