Quy tắc đếm

QUY TẮC ĐẾM

A. Lý thuyết

I. Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động X hoặc Y. Nếu hoạt động X có m cách thực hiện, hoạt động Y có n cách thực hiện và không trùng với bất cứ cách thực hiện nào của X thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

Chú ý: Số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là: $\left| X \right|$ hoặc $n\left( X \right)$

Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau:

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì: $n\left( A\cup B \right)=n\left( A \right)+n\left( B \right)$

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì, thì: $n\left( A\cup B \right)=n\left( A \right)+n\left( B \right)-n\left( A\cap B \right)$

Mở rộng:

Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},...,{{A}_{k}}$. Nếu hành động ${{A}_{1}}$ có ${{m}_{1}}$ cách thực hiện, hành động ${{A}_{2}}$có ${{m}_{2}}$cách thực hiện,…, hành động ${{A}_{k}}$ có ${{m}_{k}}$ cách thực hiện và các cách thực hiện của các hành động trên không trùng nhau thì công việc đó có ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}+...+{{m}_{k}}$ cách thực hiện.

II. Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp X và Y. Nếu hành động X có m cách thức hiện và ứng với nó có n cách thực hiện hành động Y thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Chú ý: quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

Mở rộng:    

Một công việc được hoàn thành bởi k hành động ${{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},...,{{A}_{k}}$ lien tiếp. Nếu hành động ${{A}_{1}}$ có ${{m}_{1}}$ cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động ${{A}_{1}}$, có ${{m}_{2}}$cách thực hiện hành động ${{A}_{2}}$,…,  có ${{m}_{k}}$ cách thực hiện hành động ${{A}_{k}}$ thì công việc đó có ${{m}_{1}}.{{m}_{2}}.....{{m}_{k}}$ cách thực hiện.

B. Bài tập minh họa

I. Sử dụng qui tắc cộng để giải bài toán đếm

• Để sử dụng qui tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Phân tách cách giải quyết một công việc thành k phương án độc lập với nhau: A_1,A_2, … ,A_k.

Bước 2: Nếu:

A₁ có n₁ cách khác nhau.

A₂ có n₂ cách khác nhau.

…….

A_k có n_k cách khác nhau.

Bước 3:  Khi đó, ta có  n₁ + n₂ + … + n_k cách

Giải

   Người mua sẽ có hai phương án chọn. Phương án thứ nhất là chọn áo cỡ 39, do áo cỡ 39 có 5 màu nên phương án này có 5 cách chọn. Phương án thứ hai là chọn áo cỡ 40, do áo cỡ 40 có 4 màu nên phương án này có 4 cách chọn. Vậy người mua áo có: 5 + 4 = 9 cách chọn mua áo.

Chọn C

Giải

Gọi tập hợp học sinh tham gia câu lạc bộ Toán và Tin lần lượt là A và B.

Vậy tập hợp các em HS của lớp là A$\cup $B và tập hợp các em tham gia cả hai câu lạc bộ là  A$\cap $B => |A$\cap $B| = 50.

Theo đề bài ta có  |A| = 160, |B| = 140

 Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:

      | A$\cup $B| = |A| + |B| - |A$\cap $B|

=>  | A$\cup $B| = 160 + 140 - 50

=>  | A$\cup $B| = 250

Vậy số HS khối 12 ở trường đó là 250 em.

Chọn D

Giải

Gọi tập hợp các em HS đăng ký môn bóng đá và môn cầu lông lần lượt là A và B. Vậy tập hợp các em HS của lớp là A$\cup $B và tập hợp các em đăng ký cả hai môn thể thao là A$\cap $B.

Mà số HS của lớp là 40 nên ta có |A$\cup $B|=40 và |A| = 30, |B| = 25

 Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:

     | A$\cup $B| = |A| + |B| - |A$\cap $B|

=> |A$\cap $B| = |A| + |B| - | A$\cup $B|

=> |A$\cap $B| = 30 + 25 - 40

=> |A$\cap $B| = 15

Vậy số HS đăng ký cả hai môn thể thao là 15 em.

Chọn B

II. Sử dụng qui tắc nhân để giải bài toán đếm

Để sử dụng qui tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Phân tách một công việc thành k công việc nhỏ liên tiếp:

A_1,A_2, … ,A_k.

Bước 2: Nếu:

A₁ có n₁ cách khác nhau.

Ứng với mỗi cách thực hiện A_1, A₂ có n₂ cách khác nhau.

…….

Ứng với mỗi cách thực hiện A_1,…,A_k-1 thì A_k có n_k cách khác nhau.

Bước 3: Khi đó, ta có  n₁. n₂.  … n_k cách.

Chú ý:

• Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài, chúng ta biết được rằng bài đó phải dùng qui tắc cộng hay qui tắc nhân. Thông thường, nếu một bài toán mà công việc có thể giải quyết theo nhiều phương án hay có nhiều trường hợp xảy ra thì ta thường dùng qui tắc cộng, còn nếu bài toán mà công việc được thực hiện bằng những công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công đoạn hay là trường hợp nhỏ này liên kết với trường hợp nhỏ kia thì ta thường dùng qui tắc nhân.
• Trong nhiều trường hợp chúng ta cần kết hợp cả hai qui tắc để giải bài toán đếm.

Giải

Gọi A=$\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}$

6 số của tờ vé số có dạng $\overline{abcdef}$ với a,b,c,d,e,f $\in $ A

a được chọn từ tập A có 10 phần tử nên có 10 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn a, b được chọn từ tập A\$\left\{ a \right\}$ có 9 phần tử nên có 9 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn a và b, c được chọn từ tập A\$\left\{ a,b \right\}$ có 8 phần tử nên có 8 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn a, b và c, d được chọn từ tập A\$\left\{ a,b,c \right\}$ có 7 phần tử nên có 10 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn a, b, c và d, e được chọn từ tập A\$\left\{ a,b,c,d \right\}$ có 6 phần tử nên có 10 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn a, b,c,d và e, f được chọn từ tập A\$\left\{ a,b,c,d,e \right\}$ có 5 phần tử nên có 5 cách chọn.

Vậy, theo quy tắc nhân ta có:  10.9.8.7.6.5 = 151200 cách chọn.

Chọn B

Giải

Một thực đơn gồm một món ăn, một loại hoa quả, một loại nước uống.

Một món ăn được chọn từ 10 món nên có 10 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn một món ăn, một loại hoa quả được chọn từ 5 loại nên có 5 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn một món ăn và một loại hoa quả thì một loại nước uống được chọn từ 4 loại nên có 4 cách chọn.

Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 10.5.4=200 cách chọn một thực đơn.

Chọn B

Giải

Để chọn một đôi song ca nam – nữ, đầu tiên chọn một nam từ 8 bạn nam nên có 8 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn bạn nam, một bạn nữ được chọn từ 6 bạn nữ nên có 6 cách chọn.

Vậy, theo quy tắc nhân ta có:  8.6=48 cách chọn một đôi song ca.

Chọn A

III. Các bài toán sử dụng kết hợp qui tắc cộng và qui tắc nhân

Giải

Gọi A=$\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$

Các số tự nhiên bé hơn 100 gồm có một chữ số hoặc hai chữ số.

TH1) Có 6 số tự nhiên có một chữ số.

TH2) Giả sử số tự nhiên có hai chữ số có dạng $\overline{ab}$ với a,b thuộc A.

 a được chọn từ tập A có 6 phần tử nên có 6 cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn a, b được chọn từ tập A có 6 phần tử nên có 6 cách chọn.

Theo quy tắc nhân ta có:  6.6 = 36 cách chọn.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: 36+6=42 cách chọn.

Chọn A

Giải

Biển đăng ký xe có:

Hai chữ cái đầu tiên trong 24 chữ cái nên ta có: 24.24 = 576 cách chọn.

Chữ số đầu tiên khác 0 nên ta có: 9 cách chọn.

Năm chữ số còn lại không nhất thiết phải khác 0 và có thể trùng nhau nên ta có: 10.10.10.10.10 = 100000 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân ta có: 576.9.100000 = 518400000 cách chọn.

Chọn B

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình , người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người.
Tìm số cách chọn tổ sao cho có 1 tổ trưởng , 5 tổ viên trong đó An và Bình không đồng thời có mặt

A. 43200                        B. 275                            C. 15048                        D. 2458

Câu 2: Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người.Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ

A. 2974                          B. 1440                          C. 1050                          D. 105

Câu 3: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau,  thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 5.

A. 240                            B. 24                    C. 48                    D. 36

Câu 4: Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7, có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1

A. 60                    B. 72                    C. 36                    D. 125

Câu 5:Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số (chữ số đầu tiên khác 0), biết rằng chữ số 2 có mặt đứng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.

A. 11340                        B. 460800                      C. 1024                          D. 144

Câu 6:Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi 1 khác nhau. (Chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0, nhưng không có mặt chữ số 1.

A. 480                            B. 33600                        C. 2520                          D. 720

Câu 7: Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên bàn dài. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này sao cho hai học sinh A và B không ngồi cạnh nhau.

A. 150                            B. 408                            C. 480                            D. 1440

Câu 8: Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ ba màu.

A. 105                            B. 275                            C. 150                            D. 125

Câu 9:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau.

A. 2880                          B. 2280                          C. 28800                        D. 59049

Câu 10: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số không bắt đầu bởi 345

A. 150                            B. 72                    C. 118                            D. 8

Câu 11:Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi 23

A. 36                    B. 6                      C. 96                    D. 42

Câu 12: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số không bắt đầu bởi chữ số 1

A. 96                    B. 24                    C. 36                    D. 102

Đáp án bài tập tự luyện

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
C	A	B	A	A	B	C	A	D	C	B	A

 

 

Bài viết gợi ý: