Cấp số cộng

CẤP SỐ CỘNG

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

• Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
• Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
• Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)

Nhận xét: Từ định nghĩa ta có:

1. Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d ta có công thức truy hồi

2. Cấp số cộng (u_n) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0

3. Cấp số cộng (u_n) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0

II. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát  u_n được xác định bởi công thức :  

III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Trong một cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

\[{{u}_{k}}=\frac{{{u}_{k-1}}+{{u}_{k+1}}}{2}\] với \[k\ge 2\]

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n) .đặt \[{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+.......+{{u}_{n}}\]. Khi đó:

\[{{S}_{n}}=\frac{n({{u}_{1}}+{{u}_{n}})}{2}\]  hoặc  \[{{S}_{n}}=n{{u}_{1}}+\frac{n(n-1)}{2}d\].

B. Bài tập minh họa

Giải:

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

• Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 2,4,8.

Ba số này không lập thành cấp số cộng vì $4-2=2\ne 4=8-4$

• Phương án B: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 1,3,7.

Ba số này không lập thành cấp số cộng vì $3-1\ne 7-3$

• Phương án C: Ta có ${{c}_{n}}=912n,\forall n\in {{N}^{*}}$

Do đó ${{c}_{n+1}}-{{c}_{n}}=-12,\forall n\in {{N}^{*}}$ nên $\left( {{c}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng

• Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 1,1009, $\frac{1009}{505}$ . Ba số này không lập thành cấp số cộng.

Chọn C

Giải

Chọn B

Giải:

Giả sử bốn nghiệm phân biệt của phương trình : ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$.

Đặt ${{x}^{2}}=y\ge 0$, ta được phương trình :

$\Leftrightarrow {{y}^{2}}-\left( 3m+5 \right)y+{{\left( m+1 \right)}^{2}}=0\quad \left( 1 \right)$

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt : $0<{{y}_{1}}<{{y}_{2}}$, Khi đó thì (1) có bốn nghiệm là : ${{x}_{1}}=-\sqrt{{{y}_{2}}},{{x}_{2}}=-\sqrt{{{y}_{1}}},{{x}_{3}}=\sqrt{{{y}_{1}}},{{x}_{4}}=\sqrt{{{y}_{2}}}$( Rõ ràng : ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}}$ )

Theo đầu bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng , nên :

$\Rightarrow {{x}_{3}}+{{x}_{1}}=2{{x}_{2}}\ \vee {{x}_{4}}+{{x}_{2}}=2{{x}_{3}}\Leftrightarrow \sqrt{{{y}_{1}}}-\sqrt{{{y}_{2}}}=2\sqrt{{{y}_{1}}}\Rightarrow 3\sqrt{{{y}_{1}}}=\sqrt{{{y}_{2}}}\Leftrightarrow 9{{y}_{1}}={{y}_{2}}\left( * \right)$

Áp dụng vi ét cho phương trình (1) ta có hệ :

Chọn A

Giải:

Ta có:

Chọn D

Giải:

          Gọi u₁, u₂, u₃ là ba góc của một tam giác vuông. Sử dụng định lí về tổng ba góc trong một tam giác ta có:

Chọn A

Giải: Ta có

Chọn B

Giải:

Theo đầu bài ta có :

Cộng các vế của các phương trình của hệ ta dược :

$\Leftrightarrow {{u}_{n}}-{{u}_{1}}=7+14+21+...+7\left( n-1 \right)=7\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\quad \left( 1 \right)$

Đặt : ${{u}_{n}}=35351\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow 35351-1=7\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\Leftrightarrow {{n}^{2}}-n-10100=0\to n=101$.

Do đó : 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số

Chọn A

Giải:

Vì 3 nghiệm phân biệt : ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành cấp số cộng , nên ta có thể đặt :

${{x}_{1}}={{x}_{0}}-d,{{x}_{2}}={{x}_{0}},{{x}_{3}}={{x}_{0}}+d\left( d\ne 0 \right)$. Theo giả thiết ta có :

${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-\left( 24+m \right)x-26-n=\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)=\left( x-{{x}_{0}}+d \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}}-d \right)$

$={{x}^{3}}-3{{x}_{0}}{{x}^{2}}+\left( 3x_{0}^{2}-{{d}^{2}} \right)x-x_{0}^{3}+{{x}_{0}}{{d}^{2}}\quad \left( \forall x \right)$

Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ :

Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng .

Chọn B

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Chọn khẳng định Đúng trong các khẳng định:  Nếu a,b,c lập thành cấp số cộng (khác không)

A. Nghịch đảo của chúng cũng lập thành một cấp số cộng  

B. Bình Phương của chúng cũng lập thành cấp số cộng  

C. c,b,a theo thứ tự đó cúng lập thành cấp số cộng        

D. Tất cả các khẳng định trên đều sai

Câu 2: Cho cấp số cộng  có tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên lần lượt là 100 và 10. Khi đó tổng của 110 số hạng đầu tiên là?

A. 90          B. -90                    C.   110               D. -110

Câu 3: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Cho cấp số cộng  \[\,\left( {{u}_{n}} \right)\] có d khác không khi đó:

\[A.\,{{u}_{2}}+{{u}_{17}}={{u}_{3}}+{{u}_{16}}\,\,\,\,\,B.{{u}_{2}}+{{u}_{17}}={{u}_{4}}+{{u}_{15}}\,\,\,\,\,\,\,\,C.{{u}_{2}}+{{u}_{17}}={{u}_{6}}+{{u}_{13}}\,\,\,\,\,\,D.{{u}_{2}}+{{u}_{17}}={{u}_{1}}+{{u}_{19}}\]

Câu 4: Viết 3 số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng   có 5 số hạng.

A .7;12;17                  B. 6,10,14               C. 8,13,18               D. Tất cả đều sai

Câu 5: Cho cấp số cộng   có \[{{u}_{1}}=\frac{1}{4},d=-\frac{1}{4}\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

A.\[\,{{s}_{5}}=\frac{5}{4}\,\]      B.\[{{s}_{5}}=\frac{4}{5}\]

C.\[{{s}_{5}}=-\frac{5}{4}\]         D.\[{{s}_{5}}=-\frac{4}{5}\]

Câu 6: Cho cấp số cộng   có d=-2 và \[{{s}_{8}}=72\], khi đó số hạng đầu tiên là sao nhiêu?

A.\[{{u}_{1}}=16\]           B.\[{{u}_{1}}=-16\,\]          C.\[{{u}_{1}}=\frac{1}{16}\,\]          D.\[{{u}_{1}}=-\frac{1}{16}\]

Câu 7: Cho cấp số cộng   có \[{{u}_{1}}=-1,d=2,{{s}_{n}}=483\]. Hỏi số các số hạng của cấp số cộng  ?

A. n=20          B. n=21              C. n=22              D. n=23

Câu 8: Cho cấp số cộng   có \[{{u}_{1}}=\sqrt{2},d=\sqrt{2},s=8\sqrt{2}\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. S là tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng              

B. S là tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số cộng  

C. S là tổng của 7 số hạng đầu tiên của cấp số cộng  \[\]        

D. Tất cả đều sai

Câu 9: Xác định x để 3 số \[1-x,{{x}^{2}},1+x\] lập thành một cấp số cộng .

A. Không có giá trị nào của x        

B. x=2 hoặc x= -2       

C. x=1 hoặc -1       

D. x=0

Câu 10: Xác đinh a để 3 số \[1+3a,{{a}^{2}}+5,1-a\] lập thành cấp số cộng .

\[A.\,a=0\,\,\,\,\,\,\,B.\,a=\pm 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C.\,a=\pm \sqrt{2}\]             D. Tất cả đều sai.

 

Câu 11: Cho cấp số cộng  có \[{{u}_{4}}=-12,{{u}_{14}}=18\]. Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là

\[A.\,{{u}_{1}}=-20,d=-3\,\,\,\,\,B.{{u}_{1}}=-22,d=3\,\,\,\,\,\,\,\,C.{{u}_{1}}=-21,d=3\,\,\,\,\,\,\,\,\,D.{{u}_{1}}=-21,d=-3\]

Câu 12: Cho cấp số cộng  có \[{{u}_{4}}=-12,{{u}_{14}}=18\]. Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên cấp số cộng  là?

A 24                B. -24               C. 26                    D. – 26

Đáp án bài tập tự luyện

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
C	D	D	A	C	A	D	D	C	A	C	A

 

 

Bài viết gợi ý: