Chuyên đề: Giới hạn hàm số
A. Lý thuyết
I. Định nghĩa
1. Giới hạn hàm số
- Cho khoảng K chứa điểm \[{{x}_{0}}\]. Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm \[{{x}_{0}}\]) có giới hạn là L khi x dần tới \[{{x}_{0}}\] nếu dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì, \[{{x}_{n}}\in K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\] và \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\], ta có: \[f\left( x \right)\to L\].
- Kí hiệu: \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\] hay \[f\left( x \right)\to L\] khi \[x\to {{x}_{0}}\].
2. Giới hạn vô cực
- Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới \[{{x}_{0}}\] nếu với mọi dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\]: \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] thì \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to +\infty \]. Kí hiệu: \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \].
- Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực.
- Ta cũng định nghĩa như trên khi thay \[{{x}_{0}}\] bởi \[-\infty ;+\infty \].
3. Giới hạn tại vô cực
- Ta nói hàm số y=f(x) xác định trên
.png)
có giới hạn là L khi \[x\to +\infty \] nếu với mọi dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right):{{x}_{n}}>a\] và \[{{x}_{n}}\to +\infty \] thì \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to L\]. Ký hiệu: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\]. - Ta nói hàm số y=f(x) xác định trên \[\left( -\infty ;b \right)\] có giới hạn là L khi \[x\to -\infty \] nếu với mọi dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right):{{x}_{n}}
4. Các định lý về giới hạn
- Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương khi \[x\to {{x}_{0}}\] (hay \[x\to +\infty \]; \[x\to -\infty \]) bằng tổng, hiệu, tích thương của các giới hạn đó khi \[x\to {{x}_{0}}\] (hay \[x\to +\infty \]; \[x\to -\infty \]).
- Chú ý: Định lý trên chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.
- Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm \[{{x}_{0}}\] (có thể các hàm số đó không xác định tại \[{{x}_{0}}\]). Nếu \[g\left( x \right)\le f\left( x \right)\le h\left( x \right)\forall x\in K\] và \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=L\] thì \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\].
5. Một số giới hạn đặc biệt
- \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2k}}=+\infty \]; \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2k+1}}=+\infty \]; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2k+1}}=-\infty \];\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty \Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{k}{f(x)}=0\] \[(k\ne 0)\]
- Giả sử \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\]. Khi đó, \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left| f\left( x \right) \right|=\left| L \right|\]; \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{f\left( x \right)}=\sqrt[3]{L}\]
- Nếu \[f\left( x \right)\ge 0\forall x\in J\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\], trong đó J là một khoảng nào đó chứa \[{{x}_{0}}\], thì \[L\ge 0\] và \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{f\left( x \right)}=\sqrt{L}\].
6. Giới hạn một bên
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên \[\left( {{x}_{0}};b \right)\]. Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x dần tới \[{{x}_{0}}\] nếu với mọi dãy \[\left( {{x}_{n}} \right)\]: \[{{x}_{0}}<{{x}_{n}}
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên \[\left( a;{{x}_{0}} \right)\]. Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x dần tới \[{{x}_{0}}\] nếu với mọi dãy \[\left( {{x}_{n}} \right)\]: \[a<{{x}_{n}}<{{x}_{0}}\] mà \[{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\] thì ta có: \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to L\]. Kí hiệu: \[\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\].
- Chú ý: \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\operatorname{limf}\left( x \right)}}\,=L\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\].
II. Bài tập minh họa
Dạng 1: Tìm \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\operatorname{limf}\left( x \right)}}\,\] khi biết f(x) xác định tại \[{{x}_{0}}\].
|
Câu 1: Tính \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{7x+1}+1}{x-2}\]. A. 1 B. 2 C. -2 D. -3
|
Lời giải: Chọn D.
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{7x+1}+1}{x-2}=\frac{\sqrt[3]{7.1+1}+1}{1-2}=-3\].
|
Câu 2: Tìm a để hàm số A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
|
.png)
Lời giải: Chọn A.
Để có giới hạn \[x\to 1\] thì \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2{{x}^{2}}-x+3a \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+ax+2 \right)\Leftrightarrow 2-1+3a=1+a+2\Leftrightarrow a=1\]
Dạng 2: Tìm \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\] trong đó \[f\left( {{x}_{0}} \right)=g\left( {{x}_{0}} \right)=0\]
|
Câu 1: Tìm \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}\]. A. n B. n+1 C. n-1 D. n-2
|
Lời giải: Chọn A.
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{n-1}}+{{x}^{n-2}}+...+x+1 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{n-1}}+{{x}^{n-2}}+...+x+1 \right)=n\].
|
Câu 2: Tính \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-5x+2}{{{x}^{3}}-8}\] A. \[\frac{1}{2}\] B. \[\frac{1}{4}\] C. \[\frac{1}{6}\] D. 1
|
Lời giải: Chọn B.
\[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-5x+2}{{{x}^{3}}-8}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-2 \right)\left( 2x-1 \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{{{x}^{2}}+2x+4}=\frac{2.2-1}{{{2}^{2}}+2.2+4}=\frac{1}{4}\].
Dạng 3: Tìm $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$, trong đó f(x), g(x)$\to \infty $
|
Câu 1: Tìm giới hạn \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4{{x}^{2}}-3x+4}+3x}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-x}\] A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{3}$ C. \[\frac{1}{5}\] D. \[\frac{1}{6}\]
|
Lời giải: Chọn A.
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4{{x}^{2}}-3x+4}+3x}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-\sqrt{4-\frac{3}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}}}+3}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-1}=\frac{-2+3}{-1-1}=-\frac{1}{2}\].
|
Câu 2: Tìm \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+1}-x \right)\]. A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. 1 D. 2
|
Lời giải: Chọn B.
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+1}-x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\left( -\sqrt{4+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-1 \right)\]. Vì \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\sqrt{4+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-1 \right)=-2\]; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=+\infty \].
Nên \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\left( -\sqrt{4+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-1 \right)=-\infty \].
Dạng 4: Dạng vô định \[\infty -\infty \] và \[0.\infty \].
|
Câu 1: Tìm \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-x \right)\]. A. \[\frac{1}{2}\] B. \[-\frac{1}{2}\] C. 1 D. -1
|
Lời giải: Chọn B.
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+1-{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+1}=-\frac{1}{2}\]
|
Câu 2: Tìm \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[n]{\left( x+{{a}_{1}} \right)\left( x+{{a}_{2}} \right)...\left( x+{{a}_{n}} \right)}-x \right]\] A. \[\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{n}}}{n}\] B. n C. n-1 D. \[\frac{n}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{n}}}\]
|
Lời giải: Chọn A.
Đặt y=\[\sqrt[n]{\left( x+{{a}_{1}} \right)\left( x+{{a}_{2}} \right)....\left( x+{{a}_{n}} \right)}\]. Nên \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[n]{\left( x+{{a}_{1}} \right)\left( x+{{a}_{2}} \right)....\left( x+{{a}_{n}} \right)}-x \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( y-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{n}}-{{x}^{n}}}{{{y}^{n-1}}+{{y}^{n-2}}x+...y{{x}^{n-2}}+{{x}^{n-1}}}\]
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[n]{\left( x+{{a}_{1}} \right)\left( x+{{a}_{2}} \right)....\left( x+{{a}_{n}} \right)}-x \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( y-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{n}}-{{x}^{n}}}{{{y}^{n-1}}+{{y}^{n-2}}x+...y{{x}^{n-2}}+{{x}^{n-1}}}\].png)
.
Xét \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{n}}-{{x}^{n}}}{{{x}^{n-1}}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}+\frac{{{b}_{1}}}{{{x}^{n-2}}}+\frac{{{b}_{2}}}{{{x}^{n-3}}}+...+\frac{{{b}_{n-2}}}{x}\]. Trong đó: \[{{b}_{1}};{{b}_{2}};...;{{b}_{n-2}}\] là hệ số \[x;{{x}^{2}};...;{{x}^{n-2}}\] .
Xét \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{k}}{{x}^{n-1-k}}}{{{x}^{n-1}}}=1\forall k=0;1;...;n-1\]\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{n-1}}+{{y}^{n-2}}x+...+y{{x}^{n-2}}+{{x}^{n-1}}}{{{x}^{n-1}}}=n\].
Nên \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[n]{\left( x+{{a}_{1}} \right)\left( x+{{a}_{2}} \right)...\left( x+{{a}_{n}} \right)}-x \right]=\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}{n}\].
Dạng 5: Dạng vô định các hàm lượng giác
Chú ý: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sin x}=1\]; \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\tan x}=1\].
|
Câu 1: Tính \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\sin \frac{1}{x}\]. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
|
Lời giải: Chọn A.
Vì \[\left| {{x}^{2}}\sin \frac{1}{x} \right|\le {{x}^{2}}\]. Mà \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| {{x}^{2}}\sin \frac{1}{x} \right|=0\] (định lý kẹp).
|
Câu 2: Tính \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{{{\sin }^{2}}x}\]. A. \[\frac{1}{2}\] B. \[-\frac{1}{12}\] C. \[\frac{1}{12}\] D. \[-\frac{1}{2}\]
|
Lời giải: Chọn B.
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{{{\sin }^{2}}x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\cos x}-1+1-\sqrt[3]{\cos x}}{{{\sin }^{2}}x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\cos x-1}{1+\sqrt{\cos x}}+\frac{1-\cos x}{1+\sqrt[3]{\cos x}+\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}}}{{{\sin }^{2}}x}\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{{{\sin }^{2}}x}.\left( -\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{\cos x}+\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}} \right)\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}{{{\sin }^{2}}x}.\left( -\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{\cos x}+\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}} \right)\]\[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)}^{2}}}{2{{\left( \frac{\sin x}{x} \right)}^{2}}}.\left( -\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{\cos x}+\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}} \right)=-\frac{1}{12}\].
II. Bài tập tự luyện
Câu 1: Tính \[\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}2x-3\cos x}{\tan x}\].
A. \[\sqrt{3}\] B. \[\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{9}{2}\] C. \[\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{9}{22}\] D. \[\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{9}{22}\]
Câu 2: Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x=0 .png)
.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 3: Tính \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1+2x \right)}^{2}}{{\left( 2+3x \right)}^{3}}-8}{x}\].
A. 66 B. 68 C. 70 D. 72
Câu 4: Tính \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x-1}.\sqrt[3]{3x-2}.\sqrt[4]{4x-3}-1}{x-1}\].
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
Câu 5: Tính \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{1+{{x}^{4}}+{{x}^{6}}}}{\sqrt{1+{{x}^{3}}+{{x}^{4}}}}\].
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 6: Tính \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-x+1} \right)\].
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
Câu 7: Tính \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x}-2\sqrt{{{x}^{2}}+x}+x \right)\].
A. \[\frac{1}{2}\] B. \[-\frac{1}{2}\] C. \[-\frac{1}{4}\] D. \[\frac{1}{4}\]
Câu 8: Tính \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+\sqrt{4{{x}^{2}}-x+1} \right)\].
A. \[\frac{1}{2}\] B. \[-\frac{1}{2}\] C. \[-\frac{1}{4}\] D. \[\frac{1}{4}\]
Câu 9: Tính \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{1-\sqrt{\cos 2x}}\].
A. \[\frac{1}{2}\] B. \[-\frac{1}{2}\] C. \[-\frac{1}{4}\] D. \[\frac{1}{4}\]
Câu 10: Tính \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2\sin x+{{\cos }^{3}}x \right)\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\].
A. 0 B. 2 C. 3 D. 1
Đáp án bài tập tự luyện:
.png)
