VI PHÂN
A/ LÝ THUYẾT
I/ Định nghĩa vi phân
+ Cho hàm số
$y=f(x)$ , xác định trên khoảng $\left( a;b \right)$ và có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}\in
\left( a;b \right)$ . Cho số gia $\vartriangle x$ tại x sao cho $x+\vartriangle
x\in \left( a;b \right)$
+ Gọi tích $f'(x).\vartriangle
x$ là vi phân của hàm số $y=f(x)$ tại x ứng với số gia $\vartriangle x$
+ Ký kiệu: $dy$
hoặc $df(x)$
Khi đó ta
có: $dy=y'\vartriangle x=f'(x)\vartriangle x$
Hoặc: $dy=y'\vartriangle x=f'(x)dx$
II/ Ứng dụng vi phân tính gần đúng
Theo định
nghĩa đạo hàm, ta có:
$f'({{x}_{0}})=\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\vartriangle y}{\vartriangle x}$
Do đó với $\left|
\vartriangle x \right|$ đủ nhỏ thì:
$f'({{x}_{0}})\approx
\frac{\vartriangle x}{\vartriangle y}\Leftrightarrow f({{x}_{0}}+\vartriangle
x)\approx f({{x}_{0}})+f'\left( {{x}_{0}} \right).\vartriangle x$
B/ VÍ DỤ
VD 1: Tìm vi phân của hàm số $y=x$
A.$dy=x$
B.$dy=1$
C.$dy=dx$
D.$dy=0$
Giải:
Áp dụng công
thức, ta có:
$dy=x'dx=dx$
Đáp án C
VD 2: Tìm vi phân của hàm số $y={{x}^{2}}$
A.$dy=2x$
B.$dy=2xdx$
C.$dy=d{{x}^{2}}$
D.$dy=dx$
Giải:
Áp dụng công
thức, ta có:
$dy=\left(
{{x}^{2}} \right)'dx=2xdx$
Đáp án B
VD 3: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{1}{x}$
A.$dy=d\frac{1}{x}$
B.$dy=-\frac{1}{{{x}^{2}}}dx$
C.$dy=-\frac{1}{{{x}^{2}}dx}$
D.$dy=-d\frac{1}{{{x}^{2}}}$
Giải:
Áp dụng công
thức, ta có:
$dy={{\left(
\frac{1}{x} \right)}^{'}}dx=-\frac{1}{{{x}^{2}}}dx$
Đáp án B
VD 4: Tìm vi phân của hàm số $y=\sin x$
A.$dy=\sin
xdx$
B.$dy=\cos
xdx$
C.$dy=-\cos
xdx$
D.$dy=\frac{1}{\sin
x}dx$
Giải:
Áp dụng công
thức, ta có:
$dy=\left(
\operatorname{s}\text{inx} \right)'dx=\cos xdx$
Đáp án B
VD 5: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$
A.$\frac{-3}{{{\left(
x-2 \right)}^{2}}}dx$
B.$\frac{3}{{{\left(
x-2 \right)}^{2}}}dx$
C.$\frac{-3}{x-2}dx$
D.$\frac{3}{x-2}dx$
Giải:
Áp dụng công
thức, ta có:
$dy=\left(
\frac{x+1}{x-2} \right)'dx=\frac{-3}{{{(x-2)}^{2}}}dx$
Đáp án A
VD 6: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{\sqrt{x}}{a+b}$
(a; b là các tham số)
A.\[dy=\frac{dx}{\left(
a+b \right)\sqrt{x}}\]
B.\[dy=\frac{2dx}{\left(
a+b \right)\sqrt{x}}\]
C.\[dy=\frac{dx}{2\left(
a+b \right)\sqrt{x}}\]
D.\[dy=\frac{1}{2\left(
a+b \right)\sqrt{x}}\]
Giải:
Áp dụng công
thức, ta có:
$dy={{\left(
\frac{\sqrt{x}}{a+b} \right)}^{'}}dx=\frac{dx}{2\left( a+b \right)\sqrt{x}}$
Đáp án C
VD 7: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{1}{\sin
x}$
A.$dy=\frac{\cos
xdx}{{{\sin }^{2}}x}$
B.$dy=\frac{-\cos
xdx}{{{\sin }^{2}}x}$
C.$dy=-\frac{\sin
xdx}{{{\cos }^{2}}x}$
D.$dy=-\frac{\cos
x}{{{\sin }^{2}}x}$
Giải:
Áp dụng công
thức, ta có:
$dy={{\left(
\frac{1}{\sin x} \right)}^{'}}dx=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}.\left( \sin x
\right)'dx=-\frac{\cos xdx}{{{\sin }^{2}}x}$
Đáp án B
VD 8: Tìm vi phân của hàm số $y=\sqrt{\tan
x}$
A.$\frac{{{\cos
}^{2}}xdx}{2\sqrt{\tan x}}$
B.$\frac{{{\cos
}^{2}}xdx}{\sqrt{\tan x}}$
C.$\frac{dx}{{{\cos
}^{2}}\left( x \right)\sqrt{\tan x}}$
D. $\frac{dx}{2{{\cos
}^{2}}\left( x \right)\sqrt{\tan x}}$
Giải:
Áp dụng công
thức, ta có:
$dy=\left(
\sqrt{\tan x} \right)'dx=\frac{\left( \tan x \right)'dx}{2\sqrt{\tan
x}}=\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\left( x \right)\sqrt{\tan x}}$
Đáp án D
C/ BÀI TẬP
Bài 1: Tìm vi phân của hàm số $y={{x}^{2}}+3x$
A.$dy=\left(
2x+3 \right)dx$
B.$dy=\left(
{{x}^{2}}+3x \right)dx$
C.$dy=\left(
3x+2 \right)dx$
D.$dy=dx$
Bài 2: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{1}{{{x}^{2}}+x}$
A.$dy=\frac{2x+1}{{{\left(
{{x}^{2}}+x \right)}^{2}}}dx$
B.$dy=-\frac{2x+1}{{{\left(
{{x}^{2}}+x \right)}^{2}}}dx$
C.$dy=-\frac{1}{{{\left(
{{x}^{2}}+x \right)}^{2}}}dx$
D.$dy=\frac{1}{{{\left(
{{x}^{2}}+x \right)}^{2}}}dx$
Bài 3: Tìm vi phân của hàm số $y=2\sqrt{{{x}^{2}}+2x}$
A.$dy=\frac{-1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx$
B.$dy=\frac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx$
C.$dy=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx$
D.$dy=\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx$
Bài 4: Tìm phát biểu đúng?
A.$d\left(
\sqrt{x} \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
B.$d\left(
{{\sin }^{2}}x \right)=2\sin xdx$
C.$d\left(
{{\cos }^{2}}x \right)=\sin 2xdx$
D.$d\left(
{{\sin }^{2}}x \right)=\sin 2xdx$
Bài 5: Tìm phát biếu đúng trong các phát biểu
sau:
A.$d\left[
f'\left( x \right) \right]=f''(x)dx$
B.$d\left[
f(x) \right]=f'(x)$
C.$d\left[
f'(x) \right]=f'(x)dx$
D.$d\left[
f'(x) \right]=f''(x)$
Bài 6: Tìm vi phân của hàm số $y=\sqrt{{{\tan
}^{2}}x}$
A.$\frac{dx}{{{\cos
}^{2}}\left( x \right)}$
B.$\frac{\tan
xdx}{{{\cos }^{2}}\left( x \right)\sqrt{{{\tan }^{2}}x}}$
C.$\frac{-dx}{{{\cos
}^{2}}\left( x \right)}$
D.$\frac{dx}{{{\cos
}^{2}}\left( x \right)\sqrt{{{\tan }^{2}}x}}$
Bài 7: Tìm phát biểu sai trong các phát biểu
sau:
A.$d\left(
\sqrt{\tan x} \right)=\frac{\tan xdx}{{{\cos }^{2}}\left( x \right)\sqrt{{{\tan
}^{2}}x}}$
B.$d\left(
\sqrt{{{x}^{2}}+2x} \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}dx$
C.$d\left(
{{\sin }^{2}}x \right)=2\sin xdx$
D.$d\left(
\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{-2dx}{{{x}^{3}}}$
Bài 8: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{\sin
x}{\cos x}$
A. $dy=\frac{-2dx}{{{\cos
}^{2}}x}$
B.$dy=\frac{-dx}{{{\cos
}^{2}}x}$
C.$dy=\frac{2dx}{{{\cos
}^{2}}x}$
D. $dy=\frac{dx}{{{\cos
}^{2}}x}$
Bài 9: Tìm vi phân của hàm số $y=\frac{x-3}{x+2}$
A.$dy=\frac{5dx}{{{\left(
x+2 \right)}^{2}}}$
B.$dy=\frac{-dx}{{{\left(
x+2 \right)}^{2}}}$
C.$dy=\frac{-5dx}{{{\left(
x+2 \right)}^{2}}}$
D.$dy=\frac{dx}{{{\left(
x+2 \right)}^{2}}}$
Bài 10: Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
A.$d\left[
\cot u\left( x \right) \right]=\frac{dx}{{{\sin }^{2}}u\left( x \right)}$
B.$d\left[
\cot u\left( x \right) \right]=\frac{u'\left( x \right)dx}{{{\sin }^{2}}u\left(
x \right)}$
C.$d\left[
\tan u\left( x \right) \right]=\frac{dx}{{{\cos }^{2}}u\left( x \right)}$
D.$d\left[
\sin u\left( x \right) \right]=-u'\left( x \right).\cos u\left( x \right)dx$
ĐÁP ÁN
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
A |
B |
C |
D |
A |
B |
C |
D |
A |
B |
