Dãy số

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

  • Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N∗{{N}^{*}}được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số).
  • Ta thường kí hiệu dãy số u=u(n) bởi u(n), và gọi (un)\left( {{u}_{n}} \right) là số hạng tổng quát của dãy số.

II. Cách cho một dãy số

  • Cho dãy số bởi công thức tổng quát.
  • Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi.
  • Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
  • Chú ý: Một dãy số có thể cho bằng nhiều cách.

III. Dãy số tăng, dãy số giảm

  • Dãy số (un)\left( {{u}_{n}} \right) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un<un+1{{u}_{n}}<{{u}_{n+1}}.
  • Dãy số (un)\left( {{u}_{n}} \right) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un>un+1{{u}_{n}}>{{u}_{n+1}}.

IV. Dãy số bị chặn

  • Dãy số (un)\left( {{u}_{n}} \right) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ∀n∈N∗,un≤M\forall n\in {{N}^{*}},{{u}_{n}}\le M.
  • Dãy số (un)\left( {{u}_{n}} \right) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho ∀n∈N∗,un≥m\forall n\in {{N}^{*}},{{u}_{n}}\ge m.
  • Dãy số (un)\left( {{u}_{n}} \right) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho ∀n∈N∗,m≤un≤M\forall n\in {{N}^{*}},m\le {{u}_{n}}\le M.

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho dãy số (un)\left( {{u}_{n}} \right) với un=−nn+1{{u}_{n}}=-\frac{n}{n+1}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 5 số hặng đầu của dãy là: −12;−23;−34;−1;−56-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-1;-\frac{5}{6}.

B. 5 số hạng đầu của dãy là: −12;−23;−34;−45;−56-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}.

C. Là dãy số tăng.

D. Bị chặn trên bởi số 1.

Lời giải: Chọn B.

Thay n=1;2;3;4;5 vào công thức tổng quát , sử dụng CALC trên máy tính ta được năm số hạng đầu là −12;−23;−34;−45;−56-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}.

 

Câu 2: Cho dãy số (un)\left( {{u}_{n}} \right) với un=1n2+n{{u}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{2}}+n}. Chọn khẳng định sai?

A. 5 số hạng đầu của dãy là: 12;16;112;120;130\frac{1}{2};\frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{1}{20};\frac{1}{30}.

B. Là dãy số tăng.

C. Bị chặn trên bởi số M=12M=\frac{1}{2}.

D. Dãy số không bị chặn.

Lời giải: Chọn B.

Ta có: un=1n2+n=1n(n+1)>1(n+1)(n+2)=un+1{{u}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{2}}+n}=\frac{1}{n\left( n+1 \right)}>\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}={{u}_{n+1}}. Vậy dãy số trên giảm.

 

Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

          A. un=5(n−1){{u}_{n}}=5\left( n-1 \right)           B. un=5n{{u}_{n}}=5n             C. un=5+n{{u}_{n}}=5+n               D. un=5n+1{{u}_{n}}=5n+1

Lời giải: Chọn B.

Ta thử với n=1;2;3;4;5 vào un=5n{{u}_{n}}=5n thấy thỏa mãn đề bài

 

Câu 4: Cho dãy số un={{u}_{n}}=. Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

          A. un=n{{u}_{n}}=n         B. un=n−22{{u}_{n}}=\frac{n-2}{2}                  C. un=5+(n−1)n2{{u}_{n}}=5+\frac{\left( n-1 \right)n}{2}       D. un=5+(n−1)2{{u}_{n}}=5+\frac{\left( n-1 \right)}{2}.

Lời giải: Chọn C.

. Cộng theo vế ta có: un−u1=n(n−1)2⇒un=5+n(n−1)2{{u}_{n}}-{{u}_{1}}=\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\Rightarrow {{u}_{n}}=5+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}.

 

Câu 5:  Cho dãy số un={{u}_{n}}=. Số hạng tỏng quát của dãy số là

          A. un=2−n{{u}_{n}}=2-n                   B. un=1−n{{u}_{n}}=1-n                    C. un=n{{u}_{n}}=n                        D. un=−n{{u}_{n}}=-n

Lời giải: Chọn A.

Ta có: u2=0;u3=−1;u4=−2,....{{u}_{2}}=0;{{u}_{3}}=-1;{{u}_{4}}=-2,..... Nên dễ dàng dự đoán được un=2−n{{u}_{n}}=2-n.

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho dãy số un=−1n{{u}_{n}}=-\frac{1}{n}. Khẳng định sai là?

A. 5 sô hạng đầu của dãy là: −1;−12;−13;−14;−15-1;-\frac{1}{2};-\frac{1}{3};-\frac{1}{4};-\frac{1}{5}.

B. Bị chặn trên bởi M=-1.

C. Bị chặn trên bởi số M=0.

D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m=-1.

Câu 2: Cho dãy số un=a.3n{{u}_{n}}=a{{.3}^{n}}. Khẳng định sai là:

A. Dãy số có un+1=a.3n+1{{u}_{n+1}}=a{{.3}^{n+1}}.

B. Hiệu số un+1−un=3a{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=3a.

C. Với a>0 thì dãy số tăng.

D. Với a<0 thì dãy số giảm.

Câu 3: Cho dãy số un=a−1n2{{u}_{n}}=\frac{a-1}{{{n}^{2}}}. Chọn khẳng định đúng?

A. Dãy số có un+1=a−1n2+1{{u}_{n+1}}=\frac{a-1}{{{n}^{2}}+1}.

B. Dãy số có un+1=a−1(n+1)2{{u}_{n+1}}=\frac{a-1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}.

C. Là dãy số tăng.

D. Là dãy số giảm.

Câu 4: Cho un=an2n+1{{u}_{n}}=\frac{a{{n}^{2}}}{n+1}. un+1{{u}_{n+1}} là số nào.

          A. un+1=a(n+1)2n+2{{u}_{n+1}}=\frac{a{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{n+2}             B. un+1=a(n+1)2n+1{{u}_{n+1}}=\frac{a{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{n+1}        C. n            C. n+1

Câu 5: Cho dãy số un=a3n{{u}_{n}}=\frac{a}{{{3}^{n}}}. Khẳng định sai là?

A. Số hạng thứ 5 của dãy số là un=a35{{u}_{n}}=\frac{a}{{{3}^{5}}}.

B. Số hạng thứ n của dãy số là un=a3n+1{{u}_{n}}=\frac{a}{{{3}^{n+1}}}.

C. Là dãy số giảm khi a>0.

D. Là dãy số tăng khi a<0.

Câu 6: Cho dãy un=−n2+n+1{{u}_{n}}=-{{n}^{2}}+n+1. Chọn khẳng định đúng?

A. 5 số hạng đầu của dãy là -1;1;5;-5;-11;-19.

B. un+1=−n2+n+2{{u}_{n+1}}=-{{n}^{2}}+n+2.

C. un+1−un=1{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1.

D. Là dãy số giảm.

Câu 7: Cho dãy số un={{u}_{n}}=. Công thức số hạng tổng quát là

          A. un=−n+1n{{u}_{n}}=-\frac{n+1}{n}                  B. un=−n−1n{{u}_{n}}=-\frac{n-1}{n}          C. un=−nn+1{{u}_{n}}=-\frac{n}{n+1}                  D. n

Câu 8: Cho dãy  un={{u}_{n}}=. Công thức tổng quát của dãy số là

          A. un=12−2(n−1){{u}_{n}}=\frac{1}{2}-2\left( n-1 \right)                 B. n-1          C. n+1                           D. 2n

Câu 9: Cho dãy un={{u}_{n}}=. Công thức số hạng tổng quát của dãy là

          A. un=(12)n{{u}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}                  B. un=(12)n+1{{u}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}+1             C. un=(12)n−1.(−1){{u}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}.\left( -1 \right)      D. un=(12)n.(−1){{u}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}.\left( -1 \right)

Câu 10: Cho dãy un={{u}_{n}}=. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là:

          A. un=2n{{u}_{n}}={{2}^{n}}                           B. un=2n−1{{u}_{n}}={{2}^{n-1}}                     C. un=2n−2{{u}_{n}}={{2}^{n-2}}          D. 2n

Đáp án bài tập tự luyện

Bài viết gợi ý:

1. Chuyên đề: Hàm số liên tục.

2. Chuyên đề: Giới hạn hàm số.

3. Chuyên đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

4. Phép Đối Xứng Tâm

5. Phép Đối Xứng Trục

6. Phép Quay

7. Phép Tịnh Tiến