Dãy số.

Dãy số

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương \[{{N}^{*}}\]được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số).
Ta thường kí hiệu dãy số u=u(n) bởi u(n), và gọi \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là số hạng tổng quát của dãy số.

II. Cách cho một dãy số

Cho dãy số bởi công thức tổng quát.
Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi.
Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
Chú ý: Một dãy số có thể cho bằng nhiều cách.

III. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có \[{{u}_{n}}<{{u}_{n+1}}\].
Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có \[{{u}_{n}}>{{u}_{n+1}}\].

IV. Dãy số bị chặn

Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \[\forall n\in {{N}^{*}},{{u}_{n}}\le M\].
Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \[\forall n\in {{N}^{*}},{{u}_{n}}\ge m\].
Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho \[\forall n\in {{N}^{*}},m\le {{u}_{n}}\le M\].

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] với \[{{u}_{n}}=-\frac{n}{n+1}\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 5 số hặng đầu của dãy là: \[-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-1;-\frac{5}{6}\].

B. 5 số hạng đầu của dãy là: \[-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}\].

C. Là dãy số tăng.

D. Bị chặn trên bởi số 1.

Lời giải: Chọn B.

Thay n=1;2;3;4;5 vào công thức tổng quát , sử dụng CALC trên máy tính ta được năm số hạng đầu là \[-\frac{1}{2};-\frac{2}{3};-\frac{3}{4};-\frac{4}{5};-\frac{5}{6}\].

Câu 2: Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] với \[{{u}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{2}}+n}\]. Chọn khẳng định sai?

A. 5 số hạng đầu của dãy là: \[\frac{1}{2};\frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{1}{20};\frac{1}{30}\].

B. Là dãy số tăng.

C. Bị chặn trên bởi số \[M=\frac{1}{2}\].

D. Dãy số không bị chặn.

Lời giải: Chọn B.

Ta có: \[{{u}_{n}}=\frac{1}{{{n}^{2}}+n}=\frac{1}{n\left( n+1 \right)}>\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}={{u}_{n+1}}\]. Vậy dãy số trên giảm.

Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. \[{{u}_{n}}=5\left( n-1 \right)\] B. \[{{u}_{n}}=5n\] C. \[{{u}_{n}}=5+n\] D. \[{{u}_{n}}=5n+1\]

Lời giải: Chọn B.

Ta thử với n=1;2;3;4;5 vào \[{{u}_{n}}=5n\] thấy thỏa mãn đề bài

Câu 4: Cho dãy số \[{{u}_{n}}=\]. Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

A. \[{{u}_{n}}=n\] B. \[{{u}_{n}}=\frac{n-2}{2}\] C. \[{{u}_{n}}=5+\frac{\left( n-1 \right)n}{2}\] D. \[{{u}_{n}}=5+\frac{\left( n-1 \right)}{2}\].

Lời giải: Chọn C.

. Cộng theo vế ta có: \[{{u}_{n}}-{{u}_{1}}=\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\Rightarrow {{u}_{n}}=5+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\].

Câu 5: Cho dãy số \[{{u}_{n}}=\]. Số hạng tỏng quát của dãy số là

A. \[{{u}_{n}}=2-n\] B. \[{{u}_{n}}=1-n\] C. \[{{u}_{n}}=n\] D. \[{{u}_{n}}=-n\]

Lời giải: Chọn A.

Ta có: \[{{u}_{2}}=0;{{u}_{3}}=-1;{{u}_{4}}=-2,....\]. Nên dễ dàng dự đoán được \[{{u}_{n}}=2-n\].

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho dãy số \[{{u}_{n}}=-\frac{1}{n}\]. Khẳng định sai là?

A. 5 sô hạng đầu của dãy là: \[-1;-\frac{1}{2};-\frac{1}{3};-\frac{1}{4};-\frac{1}{5}\].

B. Bị chặn trên bởi M=-1.

C. Bị chặn trên bởi số M=0.

D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m=-1.

Câu 2: Cho dãy số \[{{u}_{n}}=a{{.3}^{n}}\]. Khẳng định sai là:

A. Dãy số có \[{{u}_{n+1}}=a{{.3}^{n+1}}\].

B. Hiệu số \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=3a\].

C. Với a>0 thì dãy số tăng.

D. Với a<0 thì dãy số giảm.

Câu 3: Cho dãy số \[{{u}_{n}}=\frac{a-1}{{{n}^{2}}}\]. Chọn khẳng định đúng?

A. Dãy số có \[{{u}_{n+1}}=\frac{a-1}{{{n}^{2}}+1}\].

B. Dãy số có \[{{u}_{n+1}}=\frac{a-1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}\].

C. Là dãy số tăng.

D. Là dãy số giảm.

Câu 4: Cho \[{{u}_{n}}=\frac{a{{n}^{2}}}{n+1}\]. \[{{u}_{n+1}}\] là số nào.

A. \[{{u}_{n+1}}=\frac{a{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{n+2}\] B. \[{{u}_{n+1}}=\frac{a{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{n+1}\] C. n C. n+1

Câu 5: Cho dãy số \[{{u}_{n}}=\frac{a}{{{3}^{n}}}\]. Khẳng định sai là?

A. Số hạng thứ 5 của dãy số là \[{{u}_{n}}=\frac{a}{{{3}^{5}}}\].

B. Số hạng thứ n của dãy số là \[{{u}_{n}}=\frac{a}{{{3}^{n+1}}}\].

C. Là dãy số giảm khi a>0.

D. Là dãy số tăng khi a<0.

Câu 6: Cho dãy \[{{u}_{n}}=-{{n}^{2}}+n+1\]. Chọn khẳng định đúng?

A. 5 số hạng đầu của dãy là -1;1;5;-5;-11;-19.

B. \[{{u}_{n+1}}=-{{n}^{2}}+n+2\].

C. \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1\].

D. Là dãy số giảm.

Câu 7: Cho dãy số \[{{u}_{n}}=\]. Công thức số hạng tổng quát là

A. \[{{u}_{n}}=-\frac{n+1}{n}\] B. \[{{u}_{n}}=-\frac{n-1}{n}\] C. \[{{u}_{n}}=-\frac{n}{n+1}\] D. n

Câu 8: Cho dãy \[{{u}_{n}}=\]. Công thức tổng quát của dãy số là

A. \[{{u}_{n}}=\frac{1}{2}-2\left( n-1 \right)\] B. n-1 C. n+1 D. 2n

Câu 9: Cho dãy \[{{u}_{n}}=\]. Công thức số hạng tổng quát của dãy là

A. \[{{u}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}\] B. \[{{u}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}+1\] C. \[{{u}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}.\left( -1 \right)\] D. \[{{u}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}.\left( -1 \right)\]

Câu 10: Cho dãy \[{{u}_{n}}=\]. Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: