Chuyên đề: Hàm số liên tục.

Chuyên đề: Hàm số liên tục

A. Lý thuyết

I. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và \[{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\]. Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] nếu \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\].
Hàm số không liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] được gọi là gián đoạn tại điểm \[{{x}_{0}}\].

II. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Hàm số y=f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right]\] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và \[\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right);\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( b \right)\].
Chú ý: Đồ thị của một hàm số liên tục là một đường liền trên khoảng đó.

III. Các định lý

1. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực R.

Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức), hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

2. Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm số liên tục tại \[{{x}_{0}}\]. Khi đó:

Các hàm số f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x).g(x) cũng liên tục tại \[{{x}_{0}}\].
Hàm số \[\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] nếu \[g\left( x \right)\ne 0\].

3. Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right]\] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm \[c\in \left( a;b \right)\] sao cho f(c)=0.

Chú ý: Nếu y=f(x) liên tục trên [a;b]. Đặt \[m=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\], \[M=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\]. Khi đó, với mọi \[T\in \left( m;M \right)\] luôn tồn tại ít nhất một số \[c\in \left( a;b \right)\] sao cho f(c)=T.

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho hàm số \[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}\] và \[f\left( 2 \right)={{m}^{2}}+1\] với \[x\ne 2\]. Giá trị của m để f(x) liên tục tại x=2 là

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải: Chọn A.

Để hàm số liên tục tại x=2 thì \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}={{m}^{2}}+1\Leftrightarrow 1={{m}^{2}}+1\Leftrightarrow m=0\].

Câu 2: Tìm a để hàm số f(x)= liên tục tại x=1.

A. 1 B. -1 C. 3 D. 5

Lời giải: Chọn B.

Để hàm số liên tục tại x=1 \[\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( ax+2 \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)\Leftrightarrow a+2=1\Leftrightarrow a=-1\].

Câu 3: Cho hàm số f(x)= . Tìm k để f(x) gián đoạn tại x=1.

A. \[\pm 2\] B. 2 C. -2 D. 1

Lời giải: Chọn A.

Ta có: \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=4\]. Nên để f(x) gián đoạn tại x=1 thì \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne f\left( 1 \right)={{k}^{2}}\Leftrightarrow 4\ne {{k}^{2}}\Leftrightarrow k\ne \pm 2\].

Câu 4: Tìm m để hàm số f(x)= liên tục trên .

A. \[\frac{1}{6}\] B. 1 C. \[-\frac{1}{6}\] D. -1

Lời giải: Chọn A.

Ta có: \[\underset{x\to {{9}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{9}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 9 \right)=\frac{1}{3}\]. Nên hàm số f(x) liên tục tại x=9. Để liên tục trên thì chỉ cần liên tục tại x=0. Xét \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}=m\Leftrightarrow m=\frac{1}{6}\].