Cấp số nhân

CẤP SỐ NHÂN

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

• Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn),trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi ,mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q .
• Số q được gọi là công bội của cấp số nhân 
• Đặc biệt:

1. Khi q=1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)

2. Khi q=0 thì cấp số nhân có dạng ${{u}_{1}},0,0,0,...,0,...$

3. Khi ${{u}_{1}}=0$ thì với mọi q, cấp số nhân có dạng $0,0,0,...,0,...$

• Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

Nếu (u_n) là cấp số nhân  với công bội q ,ta có công thức truy hồi :

II. Số hạng tổng quát của một cấp số nhân

Nếu cấp số nhân (u_n ) có số hạng đầu u₁và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức :

III. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Trong một cấp số nhân , bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là :

\[u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}\]   , \[\forall k\ge 2\].

IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q\[\ne \]1. Đặt  S_n = u₁ + u₂ + …..+u_n

Khi đó :                 \[{{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}\] hoặc \[{{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}-{{u}_{n+1}}}{1-q}\]

B. Bài tập minh họa

Giải:

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

• Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 8,28,-80.

Ba số này không lập thành cấp số nhân vì $\frac{28}{-8}\ne \frac{-80}{28}$

• Phương án B: Ta có ${{b}_{n+1}}=\frac{4035}{2018}{{b}_{n}}_{{}},\forall n\in {{N}^{*}}$ nên $\left( {{b}_{n}} \right)$ là cấp số nhân
• Phương án C: Ta có $\frac{{{c}_{n+1}}}{{{c}_{n}}}=\frac{25(n+1)}{n}$ (phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi). Do đó $\left( {{c}_{n}} \right)$ không phải là một cấp số nhân
• Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 3,9,81. Ba số này không lập thành cấp số nhân.

Chọn B

Giải:

Ta có:

Theo giải thiết S_n=728, u_n=486,q=3

Chọn A

Giải:

Theo giả thiết :

Ta có: $q=\frac{3}{x}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

Chọn D

Giải:

Cấp số nhân có công bội là:

      $q=-\frac{3}{2}$

Ta có:

Chọn B

Giải:

Gọi ba số đã cho là : ${{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}}$ theo thứ tự là ba số của một cấp số cộng .

Còn cấp số nhân $\left( {{v}_{n}} \right)$. Theo giả thiết ta có hệ :

Từ (2) và (2) cho ta phương trình (4) . Còn từ (2) và (3) cho phương trình (5) . Mặt khác từ (4) và (5) cho phương trình (6).

Do : ${{u}_{1}}\ne 0,q\ne 1\Rightarrow \left( 6 \right)\Leftrightarrow 1=\frac{1}{6}\left( q+1 \right)\Leftrightarrow q=5$

Theo (*) : ${{v}_{1}}+5{{v}_{1}}+25{{v}_{1}}=93\Leftrightarrow {{u}_{1}}=3$. Vậy ba số cần tìm là : 3,15,75.

Chọn A

Theo giả thiết ta có hệ :

Từ đó suy ra : ${{a}^{2}}=\frac{3}{2}ac+{{c}^{2}}\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}=3ac+2{{c}^{2}}\Leftrightarrow \left( 2a+c \right)\left( a-2c \right)=0\Rightarrow a=2c\left( 2a+c>0 \right)$

Mà : $c\text{osB=}\frac{\text{c}}{\text{a}}=\frac{1}{2}\Rightarrow B={{60}^{0}},C={{30}^{0}}$. Vậy tam giác ABC là tam giác nửa đều.

Chọn B

Ta có : $A={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}-{{\left( a-d \right)}^{2}}={{\left( a-a{{q}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( aq-a{{q}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( aq-a{{q}^{3}} \right)}^{2}}-{{\left( a-a{{q}^{3}} \right)}^{2}}=0$

Chọn A

C. Bài tập tự luyện

Câu 1:  Nếu cấp số nhân $({{u}_{n}})$ với ${{u}_{4}}-{{u}_{2}}=72$ và ${{u}_{5}}-{{u}_{3}}=144$ thì:

A. ${{u}_{1}}=2;q=12$         B. ${{u}_{1}}=12;q=-2$        C. ${{u}_{1}}=12;q=2$         D. ${{u}_{1}}=4;q=2$

Câu 2: Cho cấp số nhân $({{u}_{n}})$biết \[{{u}_{1}}=5\]; \[{{u}_{n}}=405\] và tông \[{{S}_{n}}=1820\], hãy tìm n

A. \[\text{n}=\text{9 }\]           B. \[\text{n}=\text{8 }\]           C. \[\text{n}=\text{6 }\]            D.\[\text{n}=\text{7}\]

Câu 3: Cho cấp số nhân  có \[{{u}_{1}}=-\frac{1}{2},\,{{u}_{7}}=-32\]. Khi đó q là ?

A.\[\pm \frac{1}{2}\,\]                                          B.\[\,\pm 2\,\]

C.\[\pm 4\]                                          D. Tất cả đều sai

Câu 4: Cho cấp số nhân  có \[{{u}_{1}}=-1,\,{{u}_{6}}=0,00001\]. Khi đó q và số hạng tổng quát là?

A.\[q=\frac{1}{10},{{u}_{n}}=\frac{-1}{{{10}^{n-1}}}\,\]              B.\[q=\frac{-1}{10},{{u}_{n}}=-{{10}^{n-1}}\,\]

C.\[\,q=\frac{-1}{10},{{u}_{n}}=\frac{1}{{{10}^{n-1}}}\,\]               D.\[q=\frac{-1}{10},{{u}_{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{10}^{n-1}}}\]

Câu 5: Cho cấp số nhân  có \[{{u}_{1}}=-1;\,q=\frac{-1}{10}\]. Số \[\frac{1}{{{10}^{103}}}\] là số hạng thứ bao nhiêu?

A số hạng thứ 103                             B số hạng thứ 104         

C số hạng thứ 105                             D Đáp án khác

Câu 6: Cho cấp số nhân  có \[{{u}_{1}}=3;\,q=-2\]. Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. số hạng thứ 5                       B. số hạng thứ 6           

C. số hạng thứ 7                       D. Đáp án khác

Câu 7: Cho dãy số \[\frac{-1}{\sqrt{2}};\sqrt{b},\sqrt{2}\]. Chọn b để ba số trên lập thành cấp số nhân

A. b=-1            B. b=1        C. b=2          D. Đáp án khác

Câu 8: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân .

A.      B.\[{{u}_{n+1}}=n{{u}_{n}}\]

C.      D.\[{{u}_{n+1}}={{u}_{n+1}}-3\]

Câu 9: Xác định x để 3 số 2x-1;x; 2x+1 lập thành cấp số nhân ?

A.\[\,x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\,\]                     B. \[x=\pm \sqrt{3}\]

C.\[x=\pm \frac{1}{3}\]                          D. Không có giá trị nào của x

Câu 10: Cho CSN có \[{{u}_{2}}=\frac{1}{4};{{u}_{5}}=16\]. Tìm q và số hạng đầu tiên của cấp số nhân ?

A.\[q=\frac{1}{2};{{u}_{1}}=\frac{1}{2}\,\]                    B.\[q=-\frac{1}{2},{{u}_{1}}=-\frac{1}{2}\,\]

C.\[q=4,{{u}_{1}}=\frac{1}{16}\,\]                     D.\[q=-4,{{u}_{1}}=-\frac{1}{16}\]

Đáp án bài tập tự luyện

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
C	C	B	D	B	C	D	C	A	C

 

 

Bài viết gợi ý: