Tổ hợp
A. Lý thuyết
- Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k \[\left( 1\le k\le n \right)\] phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
- Số các tổ hợp chập k của n phần tử: \[C_{n}^{k}=\frac{A_{n}^{k}}{k!}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\].
- Chú ý: \[C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1;C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k};C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k};C_{n}^{k}=\frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}\].
Tổ hợp không chú ý đến thứ tự sắp xếp; chỉnh hợp thì chú ý đến thứ tự sắp xếp.
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
|
Câu 1: Một đội công nhân chia thành ba nhóm. Nhóm 1 gồm 8 nam, nhóm 2 gồm 5 nữ, nhóm 3 gồm 3 nữ. Mỗi nhóm làm các chức năng khác nhau. Tính số cách để chọn 4 người trong 3 nhóm trên sao cho phải có ít nhất 1 người trong mỗi nhóm được chọn. A. 780 B. 765 C. 562 D. 987
|
Lời giải: Chọn A.
Trường hợp 1: Chọn 2 người nhóm 1, các nhóm còn lại mỗi nhóm 1 người có \[C_{8}^{2}.C_{5}^{1}.C_{3}^{1}\] cách.
Trường hợp 2: Chọn 2 người nhóm 2, các nhóm còn lại mỗi nhóm 1 người có \[C_{8}^{1}.C_{5}^{2}.C_{3}^{1}\] cách.
Trường hợp 3: Chọn 2 người nhóm 3, các nhóm còn lại mỗi nhóm 1 người có \[C_{8}^{1}.C_{5}^{1}.C_{3}^{2}\] cách.
Vậy có \[C_{8}^{2}.C_{5}^{1}.C_{3}^{1}\]+\[C_{8}^{1}.C_{5}^{2}.C_{3}^{1}\]+\[C_{8}^{1}.C_{5}^{1}.C_{3}^{2}\]=780 cách.
|
Câu 2: Một hộp bi chứa 4 viên màu đỏ, 5 viên màu xanh và 7 viên màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 viên bi từ hộp đó. Có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi sao cho có 1 viên màu đỏ và không quá hai viên màu vàng. A. 760 B.740 C. 750 D. 796
|
Lời giải: Chọn B.
Trường hợp 1: Lấy 1 viên đỏ, 3 viên xanh có \[C_{4}^{1}.C_{5}^{3}\] cách.
Trường hợp 2: Lấy 1 viên đỏ, 2 viên xanh, 1 viên vàng có \[C_{4}^{1}.C_{5}^{2}.C_{7}^{1}\] cách.
Trường hợp 3: Lấy 1 viên đỏ, 1 viên xanh, 2 viên vàng có \[C_{4}^{1}.C_{5}^{1}.C_{7}^{2}\] cách.
Vậy có : \[C_{4}^{1}.C_{5}^{3}\]+\[C_{4}^{1}.C_{5}^{2}.C_{7}^{1}\]+\[C_{4}^{1}.C_{5}^{1}.C_{7}^{2}\]=740 cách.
|
Câu 3: Có 15 học sinh ưu tú ở ba khối. Khối 12 có 3 nam và 3 nữ, khối 11 có 2 nam và 3 nữ, khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Cần chọn ra 4 học sinh sao cho có cả nam và nữ và mỗi khối có 1 học sinh nam. A. 69 B. 89 C. 96 D. 67
|
Lời giải: Chọn C.
Mỗi khối cần có 1 học sinh nam nên trong nhóm chỉ còn lại 1 vị trí cho 1 bạn nữ trong số 8 bạn nữ ưu tú trong ba khối. Nên ta có số cách chọn là: \[C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{2}^{1}.C_{8}^{1}=96\] cách.
|
Câu 4: Một lớp học có 27 học sinh nữ và 21 học sinh nam. Số cách chọn ra 5 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh nữ là A. 1648388 B. 164949 C. 1685969 D. 1691955
|
Lời giải: Chọn D.
Ta tính theo biến cố đối. Ta tính số cách chọn 5 học sinh trong đó không có học sinh nào là nữ có: \[C_{21}^{5}\] cách.
Ta có: Số cách chọn 5 học sinh bất kì là \[C_{48}^{5}\] cách.
Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \[C_{48}^{5}\]-\[C_{21}^{5}\]=1691955 cách.
|
Câu 5: Một hộp chứa 4 bi trắng; 5 bi đỏ; 6 bi xanh. Tính số cách để chọn ra 4 viên bi sao cho có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất. A. 240 B. 532 C. 345 D. 454
|
Lời giải: Chọn A.
Vì chọn ra 4 viên mà số bi đỏ nhiều nhất có cả ba màu nên số bi đỏ chọn ra được phải gồm 2 viên và các màu còn lại mỗi màu 1 viên. Nên số cách chọn là: \[C_{4}^{1}.C_{5}^{2}.C_{6}^{1}=240\] cách.
II. Bài tập tự luyện
Câu 1: Có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 15 câu trung bình, 20 câu dễ. Số cách chọn 7 câu hỏi từ 40 câu trên sao cho phải có đủ ba loại câu hỏi và số câu dễ không ít hơn 4.
A. 4433175 B. 474757 C. 465648 D. 395767
Câu 2: Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Lấy ra từ tập M một số bất kì. Có bao nhiêu số có tổng các chữ số là số lẻ.
A. 384 B. 484 C. 485 D. 448
Câu 3: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm số cách chọn sao cho có 5 tấm chẵn, 5 tấm lẻ, trong đó có đúng 1 tấm chia hết cho 10.
A. 4459455 B. 4475757 C. 4547593 D. 464783
Câu 4: Từ các chữ số của tập A={0;1;2;3;4;5}, người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính số trường hợp đánh hai số lên hai tấm thẻ mà có ít nhất 1 số chia hết cho 5.
A. 3233 B. 3564 C. 4542 D. 2345
Câu 5: Hai người cùng bắn một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có 1 người bắn trúng mục tiêu.
A. 0,26 B. 0,32 C. 0,22 D. 0,33
Câu 6: Có 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội Việt Nam. Chia làm ba bảng mỗi bảng 4 đội. Có bao nhiêu cách sao cho 3 đội Việt Nam ở ba bảng khác nhau.
A. 3930 B. 3932 C. 1080 D. 3494
Câu 7: Có 15 bạn nam và 5 nữ. Cần chia thành 4 nhóm A,B,C,D mỗi nhóm 5 bạn sao cho một nhóm có 5 bạn nữ, các nhóm còn lại là nam. Hỏi có bao nhiêu cách.
A. 3027024 B. 367889 C. 3967868 D. 388875
Câu 8: Trong một lô hàng có 12 sản phẩm khác nhau trong đó có 2 chế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm sao cho lúc lấy ra không quá 1 chế phẩm. Hỏi có bao nhiêu cách lấy.
A. 434 B. 484 C. 456 D. 714
Câu 9: Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập S={1,2,3...,11}. Tính số trường hợp để tổng ba số được chọn ra là 12.
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
Câu 10: Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số trên lại với nhau. Tính số trường hợp thu được là số lẻ.
A. 160 B. 373 C. 233 D. 24
Đáp án bài tập tự luyện
.png)
