Xác suất của biến cố.

Xác suất của biến cố

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa xác xuất

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu \[\Omega \] chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác xuất của biến cố A.
Kí hiệu .
Trong đó n(A) là số phần tử của A, còn gọi là số kết quả thuận lợi cho A, là số phần tử của \[\Omega \].

II. Tính chất của xác xuất

; \[0\le P\left( A \right)\le 1\] với mọi biến cố A.
\[P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)\] với mọi biến cố A.
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc (tức là \[A\cap B=\varnothing \]) cùng liên quan đến phép thử thì \[P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)\].
Với hai biến cố bất kì thì \[P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( A\cap B \right)\].

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Một đội giáo viên gồm 8 thầy toán, 5 cô dạy lý, 3 cô dạy hóa. Sở cần chọn 4 người chấm thi. Tính xác suất trong 4 người được chọn phải có cô giáo và đủ ba bộ môn.

A. \[\frac{3}{7}\] B. \[\frac{3}{8}\] C. \[\frac{1}{2}\] D. \[\frac{3}{5}\]

Lời giải: Chọn A.

Ta có: .

Tính n(A) có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: 2 thầy toán, 1 cô hóa, 1 cô lý có: \[C_{8}^{2}.C_{5}^{1}.C_{3}^{1}\] cách.

Trường hợp 2: 1 thầy toán, 2 cô lý, 1 cô hóa có: \[C_{8}^{1}.C_{5}^{2}.C_{3}^{1}\] cách .

Trường hợp 3: 1 thầy toán, 1 cô lý, 2 cô hóa có: \[C_{8}^{1}.C_{5}^{1}.C_{3}^{2}\]cách.

Vậy xác suất là: \[P\left( A \right)=\frac{C_{8}^{2}.C_{5}^{1}.C_{3}^{1}+C_{8}^{1}.C_{5}^{2}.C_{3}^{1}+C_{8}^{1}.C_{5}^{1}.C_{3}^{2}}{C_{16}^{4}}=\frac{3}{7}\].

Câu 2: Một hộp đựng 10 bi đỏ, 8 bi vàng, 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Xác suất để các viên bi lấy được cả 3 màu là

A. 32,4% B. 47,4% C. 33,3% D. 43,2%

Lời giải: Chọn B.

Ta có: .

Tính n(A).

Trường hợp 1: 2 đỏ, 1 vàng, 1 xanh có \[C_{10}^{2}C_{8}^{1}C_{6}^{1}\] cách.

Trường hợp 2: 1 đỏ, 2 vàng, 1 xanh có \[C_{10}^{1}C_{8}^{2}C_{6}^{1}\] cách.

Trường hợp 3: 1 đỏ, 1 vàng, 2 xanh có \[C_{10}^{1}C_{8}^{1}C_{6}^{2}\] cách.

Vậy .

Câu 3: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số được ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3.

A. \[\frac{68}{203}\] B. \[\frac{67}{203}\] C. \[\frac{67}{23}\] D. \[\frac{67}{43}\]

Lời giải: Chọn A.

Ta có: .

Ta tính trường hợp bốc được 3 thẻ mà tổng của chúng chia hết cho 3 thì 3 thẻ đó có dạng 3k; 3k+1; 3k+2.

Ta có \[1\le 3k\le 30,k\in Z\]. Vậy có 10 loại thẻ dạng 3k

Tương tự ta được 10 thẻ 3k+1 và 10 thẻ 3k +2.

Trường hợp 1: Rút 3 thẻ 3k có \[C_{10}^{3}\] cách.

Trường hợp 2: Rút 3 thẻ 3k+1 có \[C_{10}^{3}\] cách.

Trường hợp 3: Rút 3 thẻ 3k+2 có \[C_{10}^{3}\] cách.

Trường hợp 4: Rút 3 thẻ mỗi thẻ 1 dạng trên có 10.10.10 cách.

Vậy \[P\left( A \right)=\frac{C_{10}^{3}+C_{10}^{3}+C_{10}^{3}+10.10.10}{C_{30}^{3}}=\frac{68}{203}\].

Câu 4: Có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 15 câu trung bình, 20 câu dễ. Số cách chọn 7 câu hỏi từ 40 câu trên sao cho phải có đủ ba loại câu hỏi và số câu dễ không ít hơn 4.

A. \[\frac{13}{121}\] B. \[\frac{132}{121}\] C. \[\frac{915}{3848}\] D. \[\frac{1}{2}\]

Lời giải: Chọn C.

Ta có: .

\[n\left( A \right)=C_{20}^{4}.C_{5}^{2}.C_{15}^{1}+C_{20}^{4}.C_{5}^{1}.C_{15}^{2}+C_{20}^{5}.C_{5}^{1}.C_{15}^{1}\].

Vậy \[P\left( A \right)=\frac{C_{20}^{4}.C_{5}^{2}.C_{15}^{1}+C_{20}^{4}.C_{5}^{1}.C_{15}^{2}+C_{20}^{5}.C_{5}^{1}.C_{15}^{1}}{C_{40}^{7}}=\frac{915}{3848}\].

Câu 5: Hai người cùng bắn một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có 1 người bắn trúng mục tiêu.

A. 0,26 B. 0,32 C. 0,22 D. 0,33

Lời giải: Chọn A.

Gọi xác suất bắn trúng của người 1 là P(A)=0,8 và xác suất bắn trúng người 2 là P(B)=0,9.

Trường hợp 1: Người 1 bắn trúng, người 2 bắn trượt có xác xuất là \[P\left( {{C}_{1}} \right)=P\left( A \right).P\left( \overline{B} \right)=0,8.0,1=0,08\].

Trường hợp 2: Người 2 bắn trúng, người 1 bắn trượt có xác suất là \[P\left( {{C}_{2}} \right)=P\left( B \right).P\left( \overline{A} \right)=0,9.0,2=0,18\].

Vậy xác suất cần tìm là \[P\left( C \right)=P\left( {{C}_{1}} \right)+P\left( {{C}_{2}} \right)=0,08+0,18=0,26\].

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Lấy ra từ tập M một số bất kì. Tính xác suất lấy được số có tổng các chữ số là số lẻ.

A. \[\frac{48}{105}\] B. \[\frac{48}{115}\] C. \[\frac{48}{135}\] D. \[\frac{8}{135}\]

Câu 2: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để chọn sao cho có 5 tấm chẵn, 5 tấm lẻ, trong đó có đúng 1 tấm chia hết cho 10.

A.\[\frac{81}{135}\] B.\[\frac{821}{135}\] C. \[\frac{821}{1115}\] D. \[\frac{99}{667}\]

Câu 3: Có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm học sinh được chon có ít nhất 1 học sinh nữ.

A. \[\frac{379}{494}\] B. \[\frac{37}{494}\] C. \[\frac{37}{44}\] D. \[\frac{7}{44}\]

Câu 4: Từ các chữ số của tập A={0;1;2;3;4;5}, người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để đánh hai số lên hai tấm thẻ mà có ít nhất 1 số chia hết cho 5.

A. 0,23 B. 0,36 C. 0,1 D. 0,2

Câu 5: Lớp có 10 nam và 5 nữ. Tính xác suất để chọn ra nhóm gồm 8 người phải có ít nhất 3 nữ.

A.\[\frac{712}{4411}\] B. \[\frac{112}{4411}\] C. \[\frac{3690}{6453}\] D. \[\frac{360}{6453}\]

Câu 6: Có 52 bóng đèn trong đó có 4 bóng bị hỏng. Tính xác suất lấy 3 bóng đèn có ít nhất 1 bóng bị hỏng.

A. \[\frac{3610}{6453}\] B. \[\frac{30}{6453}\] C. \[\frac{30}{643}\] D. \[\frac{1201}{5525}\]

Câu 7: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Tính xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm.

A. \[\frac{101}{5525}\] B. \[\frac{101}{525}\] C. \[\frac{1}{15}\] D. \[\frac{1}{12}\]

Câu 8: 1 tổ có 3 nữ và 4 nam. Tính xác suất để 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau.

A. \[\frac{1}{12}\] B. \[\frac{1}{3}\] C. \[\frac{1}{7}\] D. \[\frac{1}{2}\]

Câu 9: Chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ 4 đôi. Tính xác suất để hai chiếc được chọn tạo thành 1 đôi

A. \[\frac{1}{12}\] B. \[\frac{1}{3}\] C. \[\frac{1}{7}\] D. \[\frac{1}{2}\]

Câu 10: Cho đa giác đều 30 cạnh. Gọi S là tập hợp các tứ giác tạo thành có 4 đỉnh lấy các đỉnh của đa giác đều. Chọn ngẫu nhiên 1 phần tử từ S. Tính xác suất để được một hình chữ nhật.

A. \[\frac{1}{261}\] B. \[\frac{1}{21}\] C. \[\frac{1}{211}\] D. \[\frac{1}{111}\]

Đáp án bài tập tự luyện