Định nghĩa đạo hàm
Hướng dẫn học sinh nắm vững lý thuyết và các dạng bài tập cơ bản liên quan đến đạo hàm.
Hướng dẫn học sinh nắm vững lý thuyết và các dạng bài tập cơ bản liên quan đến đạo hàm.
Định nghĩa đạo hàm
A. Lý thuyết
I. Đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x 0 ∈ ( a ; b ) {{x}_{0}}\in \left( a;b \right) x 0 ∈ ( a ; b ) lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}} x → x 0 lim x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x 0 {{x}_{0}} x 0 f ′ ( x 0 ) f'\left( {{x}_{0}} \right) f ′ ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) f'\left( {{x}_{0}} \right) f ′ ( x 0 ) lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}} x → x 0 lim x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) Chú ý Δ x = x − x 0 \Delta x=x-{{x}_{0}} Δ x = x − x 0 x 0 {{x}_{0}} x 0
Đại lượng Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) = f ( Δ x + x 0 ) − f ( x 0 ) \Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( \Delta x+{{x}_{0}} \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) = f ( Δ x + x 0 ) − f ( x 0 ) y ′ ( x 0 ) = lim Δ x → x 0 Δ y Δ x y'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x} y ′ ( x 0 ) = Δ x → x 0 lim Δ x Δ y
II. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1: Giả sử Δ x \Delta x Δ x x 0 {{x}_{0}} x 0 Δ y = f ( Δ x + x 0 ) − f ( x 0 ) \Delta y=f\left( \Delta x+{{x}_{0}} \right)-f\left( {{x}_{0}} \right) Δ y = f ( Δ x + x 0 ) − f ( x 0 ) Bước 2: Lập tỉ số: Δ y Δ x \frac{\Delta y}{\Delta x} Δ x Δ y Bước 3: Tìm y ′ ( x 0 ) = lim Δ x → x 0 Δ y Δ x y'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x} y ′ ( x 0 ) = Δ x → x 0 lim Δ x Δ y
III. Quan hệ sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lý: x 0 {{x}_{0}} x 0
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
Câu 1 : Tính đạo hàm tại x=2 của hàm số y = x 3 y={{x}^{3}} y = x 3
A . 12 B . 16 C . 18 D .19
Lời giải: Chọn A.
y ′ ( 2 ) = lim x → 2 f ( x ) − f ( 2 ) x − 2 = lim x → 2 x 3 − 2 3 x − 2 = lim x → 2 ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x − 2 = lim x → 2 ( x 2 + 2 x + 4 ) = 12 y'\left( 2 \right)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-{{2}^{3}}}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-2)({{x}^{2}}+2\text{x}+4)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+2\text{x}+4)=12 y ′ ( 2 ) = x → 2 lim x − 2 f ( x ) − f ( 2 ) = x → 2 lim x − 2 x 3 − 2 3 = x → 2 lim x − 2 ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = x → 2 lim ( x 2 + 2 x + 4 ) = 1 2
Câu 2 : Tính đạo hàm y = x y=\sqrt{x} y = x
A . 1 2 \frac{1}{2} 2 1 B . 1 4 \frac{1}{4} 4 1 C . 1 5 \frac{1}{5} 5 1 D . 1
Lời giải: Chọn B.
lim x → 4 f ( x ) − f ( 4 ) x − 4 = lim x → 4 x − 2 x − 4 = lim x → 4 ( x − 4 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) = 1 4 \underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-4)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{4} x → 4 lim x − 4 f ( x ) − f ( 4 ) = x → 4 lim x − 4 x − 2 = x → 4 lim ( x − 4 ) ( x + 2 ) ( x − 4 ) = 4 1
Câu 3 : Tính đạo hàm y = x 2 + 3 x y=\sqrt{{{x}^{2}}+3\text{x}} y = x 2 + 3 x
A . 1,25 B . 1,23 C . 1,43 D . 1,33
Lời giải: Chọn A.
lim x → 1 f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 = lim x → 1 x 2 + 3 x − 2 x − 1 = lim x → 1 x 2 + 3 x − 4 ( x − 1 ) ( x 2 + 3 x + 2 ) = lim x → 1 ( x − 1 ) ( x + 4 ) ( x − 1 ) ( x 2 + 3 x + 2 ) \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+3\text{x}}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+3\text{x}-4}{(x-1)(\sqrt{{{x}^{2}}+3\text{x}}+2)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(x+4)}{(x-1)(\sqrt{{{x}^{2}}+3\text{x}}+2)} x → 1 lim x − 1 f ( x ) − f ( 1 ) = x → 1 lim x − 1 x 2 + 3 x − 2 = x → 1 lim ( x − 1 ) ( x 2 + 3 x + 2 ) x 2 + 3 x − 4 = x → 1 lim ( x − 1 ) ( x 2 + 3 x + 2 ) ( x − 1 ) ( x + 4 ) = lim x → 1 x + 4 x 2 + 3 x + 2 = 1 , 25 =\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}+3\text{x}}+2}=1,25 = x → 1 lim x 2 + 3 x + 2 x + 4 = 1 , 2 5
Câu 4 : Chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình S = t 3 − 3 t 2 − 9 t S={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t S = t 3 − 3 t 2 − 9 t
A . 3 B . 4 C . 5 D . 6
Lời giải: Chọn A.
v = s ′ = lim t → t 0 f ( t ) − f ( t 0 ) t − t 0 = t 3 − 3 t 2 − 9 t − t 0 3 + 3 t 0 2 + 9 t 0 t − t 0 = ( t − t 0 ) ( t 2 + ( t 0 − 3 ) t + t 0 2 − 3 t 0 − 9 ) t − t 0 = 3 t 0 2 − 6 t 0 − 9 v=s'=\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(t)-f({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}}=\frac{{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t-t_{0}^{3}+3t_{0}^{2}+9{{t}_{0}}}{t-{{t}_{0}}}=\frac{\left( t-{{t}_{0}} \right)\left( {{t}^{2}}+\left( {{t}_{0}}-3 \right)t+t_{0}^{2}-3{{t}_{0}}-9 \right)}{t-{{t}_{0}}}=3t_{0}^{2}-6{{t}_{0}}-9 v = s ′ = t → t 0 lim t − t 0 f ( t ) − f ( t 0 ) = t − t 0 t 3 − 3 t 2 − 9 t − t 0 3 + 3 t 0 2 + 9 t 0 = t − t 0 ( t − t 0 ) ( t 2 + ( t 0 − 3 ) t + t 0 2 − 3 t 0 − 9 ) = 3 t 0 2 − 6 t 0 − 9 ⇔ 3 t 0 2 − 6 t 0 − 9 = 0 ⇔ t 0 = 3 \Leftrightarrow 3t_{0}^{2}-6{{t}_{0}}-9=0\Leftrightarrow {{t}_{0}}=3 ⇔ 3 t 0 2 − 6 t 0 − 9 = 0 ⇔ t 0 = 3
Câu 5 : Cho y = x 3 + 3 x 2 + 5 x + 8 y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5\text{x}+8 y = x 3 + 3 x 2 + 5 x + 8
A . 1 B . 2 C . 3 D . 5
Lời giải: Chọn B.
lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = lim x → x 0 x 3 + 3 x 2 + 5 x + 8 − ( x 0 3 + 3 x 0 2 + 5 x 0 + 8 ) x − x 0 \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}+5\text{x}+8-\left( x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+5{{\text{x}}_{0}}+8 \right)}{x-{{x}_{0}}} x → x 0 lim x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) = x → x 0 lim x − x 0 x 3 + 3 x 2 + 5 x + 8 − ( x 0 3 + 3 x 0 2 + 5 x 0 + 8 ) = lim x → x 0 ( x − x 0 ) ( x 2 + ( x 0 + 3 ) x + x 0 2 + 3 x 0 + 5 ) x − x 0 = lim x → x 0 ( x 2 + ( x 0 + 3 ) x + x 0 2 + 3 x 0 + 5 ) = 3 x 0 2 + 6 x 0 + 5 =\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}^{2}}+\left( {{x}_{0}}+3 \right)x+x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+5 \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+\left( {{x}_{0}}+3 \right)x+x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+5 \right)=3x_{0}^{2}+6x_{0}^{{}}+5 = x → x 0 lim x − x 0 ( x − x 0 ) ( x 2 + ( x 0 + 3 ) x + x 0 2 + 3 x 0 + 5 ) = x → x 0 lim ( x 2 + ( x 0 + 3 ) x + x 0 2 + 3 x 0 + 5 ) = 3 x 0 2 + 6 x 0 + 5
Vì 3 x 0 2 + 6 x 0 + 5 = 3 ( x 0 + 1 ) 2 + 2 ≥ 2 3x_{0}^{2}+6x_{0}^{{}}+5=3{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}+2\ge 2 3 x 0 2 + 6 x 0 + 5 = 3 ( x 0 + 1 ) 2 + 2 ≥ 2
II. Bài tập tự luyện
Câu 1 : Đạo hàm cấp 2 của y = ( x + 8 ) 8 y={{\left( x+8 \right)}^{8}} y = ( x + 8 ) 8
A . y ′ ′ = 56 ( x + 8 ) 6 y''=56{{\left( x+8 \right)}^{6}} y ′ ′ = 5 6 ( x + 8 ) 6 B . y ′ ′ = 5 ( x + 8 ) 6 y''=5{{\left( x+8 \right)}^{6}} y ′ ′ = 5 ( x + 8 ) 6 C . y ′ ′ = 53 ( x + 8 ) 6 y''=53{{\left( x+8 \right)}^{6}} y ′ ′ = 5 3 ( x + 8 ) 6 D . y ′ ′ = 53 ( x + 1 ) 6 y''=53{{\left( x+1 \right)}^{6}} y ′ ′ = 5 3 ( x + 1 ) 6
Câu 2 : Đạo hàm cấp 2 của y=sinx là:
A . y’’=-sinx B . y’’=cosx C . y’’=-cosx D . y’’=tanx
Câu 3 : Tính đạo hàm cấp 1 củay = sin 2 x y={{\sin }^{2}}x y = sin 2 x
A . y’=sin2x B . y’=sin3x C . y’=cos2x D . y’=sin5x
Câu 4 : Tính đạo hàm cấp 3 của y=sinx
A . y’’’=-cosx B . y’’’=sinx C . y’’’=cos4x D . y’’’=sin23x
Câu 5 : Tìm x để đạo hàm cấp 1 của y = x 2 y={{x}^{2}} y = x 2
A . x=0 B . x=1 C . x=2 D . x=5
Câu 6 : Tìm x để đạo hàm cấp 1 của y = x 2 + 3 y={{x}^{2}}+3 y = x 2 + 3
A . x=3 B . x=1 C . x=2 D . x=5
Câu 7 : Tính đạo hàm cấp 1 của y = x + 6 x + 8 y=\frac{x+6}{x+8} y = x + 8 x + 6
A . y ′ = 2 ( x + 8 ) 2 y'=\frac{2}{{{\left( x+8 \right)}^{2}}} y ′ = ( x + 8 ) 2 2 B . y ′ = 2 ( x + 8 ) y'=\frac{2}{\left( x+8 \right)} y ′ = ( x + 8 ) 2 C . y ′ = 1 ( x + 8 ) y'=\frac{1}{\left( x+8 \right)} y ′ = ( x + 8 ) 1 D . y ′ = 1 8 x y'=\frac{1}{8\text{x}} y ′ = 8 x 1
Câu 8: Tính đạo hàm cấp 1000 của y = x 999 y={{x}^{999}} y = x 9 9 9
A . y ( 1000 ) = 1 {{y}^{\left( 1000 \right)}}=1 y ( 1 0 0 0 ) = 1 B . y ( 1000 ) = 2 {{y}^{\left( 1000 \right)}}=2 y ( 1 0 0 0 ) = 2 C . y ( 1000 ) = 3 {{y}^{\left( 1000 \right)}}=3 y ( 1 0 0 0 ) = 3 D . y ( 1000 ) = 0 {{y}^{\left( 1000 \right)}}=0 y ( 1 0 0 0 ) = 0
Câu 9: Tìm x để đạo hàm cấp 1 của hai hàm số y = x 3 y={{x}^{3}} y = x 3 y = 3 x 2 − 3 x y=3{{x}^{2}}-3\text{x} y = 3 x 2 − 3 x
A . x=2 B . x=1 C . x=3 D . x=11
Câu 10: Tìm x để đạo hàm cấp n của hàm số y=cosx
A . y ( n ) {{y}^{\left( n \right)}} y ( n ) B . y ( n ) {{y}^{\left( n \right)}} y ( n ) C . y ( n ) {{y}^{\left( n \right)}} y ( n ) D . y ( n ) = cos ( x + n π 2 ) {{y}^{\left( n \right)}}=\cos \left( x+n\frac{\pi }{2} \right) y ( n ) = cos ( x + n 2 π )
Đáp án bài tập tự luyện
Bài viết gợi ý:
.png)
