Định nghĩa đạo hàm
A. Lý thuyết
I. Đạo hàm tại một điểm
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và \[{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\]. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\] thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm \[{{x}_{0}}\] và kí hiệu là \[f'\left( {{x}_{0}} \right)\]. Tức là: \[f'\left( {{x}_{0}} \right)\]=\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\].
- Chú ý: Đại lượng \[\Delta x=x-{{x}_{0}}\] được gọi là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}\].
Đại lượng \[\Delta y=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=f\left( \Delta x+{{x}_{0}} \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\] được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: \[y'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\].
II. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
- Bước 1: Giả sử \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[{{x}_{0}}\], tính \[\Delta y=f\left( \Delta x+{{x}_{0}} \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\].
- Bước 2: Lập tỉ số: \[\frac{\Delta y}{\Delta x}\].
- Bước 3: Tìm \[y'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{\Delta x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}\].
III. Quan hệ sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
- Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\] thì nó liên tục tại điểm đó (ngược lại không đúng).
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
|
Câu 1: Tính đạo hàm tại x=2 của hàm số \[y={{x}^{3}}\]. A. 12 B. 16 C. 18 D.19
|
Lời giải: Chọn A.
\[y'\left( 2 \right)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 2 \right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-{{2}^{3}}}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-2)({{x}^{2}}+2\text{x}+4)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+2\text{x}+4)=12\].
|
Câu 2: Tính đạo hàm \[y=\sqrt{x}\] tại x=4. A. \[\frac{1}{2}\] B. \[\frac{1}{4}\] C. \[\frac{1}{5}\] D. 1
|
Lời giải: Chọn B.
\[\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-4)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{4}\].
|
Câu 3: Tính đạo hàm \[y=\sqrt{{{x}^{2}}+3\text{x}}\] tại x=1. A. 1,25 B. 1,23 C. 1,43 D. 1,33
|
Lời giải: Chọn A.
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+3\text{x}}-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+3\text{x}-4}{(x-1)(\sqrt{{{x}^{2}}+3\text{x}}+2)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(x+4)}{(x-1)(\sqrt{{{x}^{2}}+3\text{x}}+2)}\]\[=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}+3\text{x}}+2}=1,25\].
|
Câu 4: Chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình \[S={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t\]. Thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 |
Lời giải: Chọn A.
\[v=s'=\underset{t\to {{t}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(t)-f({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}}=\frac{{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-9t-t_{0}^{3}+3t_{0}^{2}+9{{t}_{0}}}{t-{{t}_{0}}}=\frac{\left( t-{{t}_{0}} \right)\left( {{t}^{2}}+\left( {{t}_{0}}-3 \right)t+t_{0}^{2}-3{{t}_{0}}-9 \right)}{t-{{t}_{0}}}=3t_{0}^{2}-6{{t}_{0}}-9\]Khi v=0\[\Leftrightarrow 3t_{0}^{2}-6{{t}_{0}}-9=0\Leftrightarrow {{t}_{0}}=3\].
|
Câu 5: Cho \[y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5\text{x}+8\]. Tìm min y’. A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
|
Lời giải: Chọn B.
\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}+5\text{x}+8-\left( x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+5{{\text{x}}_{0}}+8 \right)}{x-{{x}_{0}}}\]\[=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}^{2}}+\left( {{x}_{0}}+3 \right)x+x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+5 \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+\left( {{x}_{0}}+3 \right)x+x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+5 \right)=3x_{0}^{2}+6x_{0}^{{}}+5\].
Vì \[3x_{0}^{2}+6x_{0}^{{}}+5=3{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}+2\ge 2\]. Nên min y’=2.
II. Bài tập tự luyện
Câu 1: Đạo hàm cấp 2 của \[y={{\left( x+8 \right)}^{8}}\] là:
A. \[y''=56{{\left( x+8 \right)}^{6}}\] B. \[y''=5{{\left( x+8 \right)}^{6}}\] C. \[y''=53{{\left( x+8 \right)}^{6}}\] D. \[y''=53{{\left( x+1 \right)}^{6}}\]
Câu 2: Đạo hàm cấp 2 của y=sinx là:
A. y’’=-sinx B. y’’=cosx C. y’’=-cosx D. y’’=tanx
Câu 3: Tính đạo hàm cấp 1 của\[y={{\sin }^{2}}x\]
A. y’=sin2x B. y’=sin3x C. y’=cos2x D. y’=sin5x
Câu 4: Tính đạo hàm cấp 3 của y=sinx
A. y’’’=-cosx B. y’’’=sinx C. y’’’=cos4x D. y’’’=sin23x
Câu 5: Tìm x để đạo hàm cấp 1 của \[y={{x}^{2}}\] bằng 0
A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. x=5
Câu 6: Tìm x để đạo hàm cấp 1 của \[y={{x}^{2}}+3\] bằng 6
A. x=3 B. x=1 C. x=2 D. x=5
Câu 7: Tính đạo hàm cấp 1 của \[y=\frac{x+6}{x+8}\].
A. \[y'=\frac{2}{{{\left( x+8 \right)}^{2}}}\] B. \[y'=\frac{2}{\left( x+8 \right)}\] C. \[y'=\frac{1}{\left( x+8 \right)}\] D. \[y'=\frac{1}{8\text{x}}\]
Câu 8: Tính đạo hàm cấp 1000 của \[y={{x}^{999}}\].
A. \[{{y}^{\left( 1000 \right)}}=1\] B. \[{{y}^{\left( 1000 \right)}}=2\] C. \[{{y}^{\left( 1000 \right)}}=3\] D. \[{{y}^{\left( 1000 \right)}}=0\]
Câu 9: Tìm x để đạo hàm cấp 1 của hai hàm số \[y={{x}^{3}}\] và \[y=3{{x}^{2}}-3\text{x}\] bằng nhau
A. x=2 B. x=1 C. x=3 D. x=11
Câu 10: Tìm x để đạo hàm cấp n của hàm số y=cosx
A. \[{{y}^{\left( n \right)}}\]=sinx B. \[{{y}^{\left( n \right)}}\]=nsinx C. \[{{y}^{\left( n \right)}}\] =ncos(x+6n) D. \[{{y}^{\left( n \right)}}=\cos \left( x+n\frac{\pi }{2} \right)\]
Đáp án bài tập tự luyện
.png)
