Nhị thức Newton

NHỊ THỨC NEWTON

A. Lý thuyết

I. Công thức nhị thức Newton

a. Định lý

Khai triển ${{\left( a+b \right)}^{n}}$ được cho bởi công thức sau:

Với a, b là các số thực và n là số nguyên dương, ta có:

Quy ước ${{a}^{0}}={{b}^{0}}=1$
Hệ quả:

*${{\left( a-b \right)}^{n}}={{\left[ a+\left( -b \right) \right]}^{n}}={{\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}\left( -b \right)}}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}$

*${{\left( 1+x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}.{{x}^{k}}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}.x+...+C_{n}^{n}.{{x}^{n}}$

b.Tính chất của công thức nhị thức Newton ${{\left( a+b \right)}^{n}}$

- Số các số hạng của công thức là n+1

- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:

$\left( n-k \right)+k=n$

- Số hạng tổng quát của nhị thức là: ${{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$ (Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ${{\left( a+b \right)}^{n}}$)

- Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau.

II. Tam giác Pascal

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau:

Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1
Nếu hàng thứ $n(n\ge 1)$ thì hang thứ $n+1$ tiếp theo được thiết lập bằng cáchcộng hai số lien tiếp của hang thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở vị trí đầu hang và cuối hang.

Nhận xét: Các số ở hang thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n+1 số $C_{n}^{0},C_{n}^{1},C_{n}^{2},...,C_{n}^{n-1},C_{n}^{n}$ .

III. Một số công thức khai triển hay sử dụng

${{2}^{n}}={{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}=}C_{n}^{n}+C_{n}^{n-1}+...+C_{n}^{0}$
$0={{\left( 1-1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}=}C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}$
${{\left( 1+x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}=}C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+...+C_{n}^{n}{{x}^{0}}$
${{\left( 1-x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{k}{{x}^{k}}=}C_{n}^{0}{{x}^{0}}-C_{n}^{1}{{x}^{1}}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{n}}$

${{\left( x-1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}=}C_{n}^{0}{{x}^{n}}-C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{0}}$

IV. Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton

a. Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có $\sum\limits_{i=1}^{n}{C_{n}^{i}}$ với i là số tự nhiên liên tiếp.

b. Trong biểu thức có $\sum\limits_{i=1}^{n}{i\left( i-1 \right)C_{n}^{i}}$ thì ta dùng đạo hàm $\left( i\in \mathbb{N} \right)$

Trong biểu thức có $\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( i+k \right)C_{n}^{i}}$ thì ta nhân 2 vế với x^k rồi lấy đạo hàm
Trong biểu thức có $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}^{k}}C_{n}^{i}}$ thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp.
Trong biểu thức có $\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i-1}C_{n}^{i}}$ thì ta lấy tích phân xác định trên $\left[ a;b \right]$ thích hợp.
Nếu bài toán cho khai triển ${{\left( {{x}^{a}}+{{x}^{b}} \right)}^{n}}={{\sum\limits_{i=1}^{n}{C_{n}^{i}{{\left( {{x}^{a}} \right)}^{n-i}}\left( {{x}^{b}} \right)}}^{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{C_{n}^{i}{{x}^{a\left( n-i \right)+ib}}}$ thì hệ số của x^m là Cⁱ_n sao cho phương trình $a\left( n-i \right)+bi=m$có nghiệm $i\in \mathbb{N}$ và $C_{n}^{i}$ đạt MAX khi $i=\frac{n-1}{2}$ hay $i=\frac{n+1}{2}$ với n lẽ, $i=\frac{n}{2}$ với n chẵn.

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Xác định số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 1: Tìm số hạng chứa ${{x}^{3}}$ của khai triển${{\left( 3x-4 \right)}^{5}}$

A. $43200{{x}^{3}}$

B. $43200{{x}^{2}}$

C. $43200$

D. ${{x}^{3}}$

Giải:

Ta có số hạng tổng quát là T = $C_{5}^{k}{{\left( 3x \right)}^{5-k}}{{(-4)}^{k}}=C_{5}^{k}{{3}^{5-k}}{{(-4)}^{k}}{{x}^{5-k}}$

Do T chứa ${{x}^{3}}$ => 5-k = 3 =>k=2

Vậy số hạng chứa ${{x}^{3}}$ là $C{}_{5}^{2}{{3}^{3}}{{(-4)}^{2}}{{x}^{3}}=43200{{x}^{3}}$

Chọn A

Câu 2: Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển đa thức của: $\left[ 1+{{x}^{2}}{{\left( 1-x \right)}^{8}} \right]$

A. 237 B. 238 C. 239 D.$238{{x}^{8}}$

Giải:

Cách 1: Ta có: $f\left( x \right)={{\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}\left[ {{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}}^{k}}={{\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{2k}}\left[ \sum\limits_{i=0}^{k}{{{\left( -1 \right)}^{i}}}C_{k}^{i}{{x}^{i}} \right]}}^{k}}.$

Vậy ta có hệ số của x⁸ là: ${{\left( -1 \right)}^{i}}C_{8}^{k}C_{k}^{i}$ thoã

Hệ số trong khai triển của x⁸ là:$$${{\left( -1 \right)}^{0}}C_{8}^{4}C_{4}^{0}+{{\left( -1 \right)}^{2}}C_{8}^{3}C_{3}^{2}$=238

Cách 2: Ta có:

$f\left( x \right)=C_{8}^{0}+...+C_{8}^{3}{{\left[ {{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{3}}+C_{8}^{4}{{\left[ {{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{4}}+...+C_{8}^{8}{{\left[ {{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{8}}$

Nhận thấy: x⁸ chỉ có trong các số hạng:

Số hạng thứ 4:$C_{8}^{3}{{\left[ {{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{3}}$
Số hạng thứ 5:$C_{8}^{4}{{\left[ {{x}^{2}}\left( 1-x \right) \right]}^{4}}$

Với hệ số tương đương với: A₈=$C_{8}^{3}C_{3}^{2}+C_{8}^{4}C_{4}^{0}$=238

Chọn B

Câu 3: Khai triển đa thức: $P\left( x \right)={{(1+2x)}^{12}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+...+{{a}_{12}}{{x}^{12}}$

Tìm max$\left( {{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{12}} \right)$

A. ${{a}_{8}}=126720$ B. ${{a}_{7}}=126720$ C. ${{a}_{8}}=12672$ D.${{a}_{9}}=12672$

Giải:

Gọi a_k là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: ${{a}_{k}}>{{a}_{k-1}}$

Từ đây ta có hệ phương trình:

Chọn A

Câu 4: Cho khai triển nhị thức:

${{\left( \frac{1}{3}+\frac{2}{3}x \right)}^{10}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+...+{{a}_{9}}{{x}^{9}}+{{a}_{10}}{{x}^{10}}.$

Hãy tìm số hạng ${{a}_{k}}$ lớn nhất.

A. ${{a}_{k}}={{a}_{5}}=\frac{{{2}^{7}}}{{{3}^{10}}}C_{10}^{7}$

B. ${{a}_{k}}={{a}_{6}}=\frac{{{2}^{7}}}{{{3}^{10}}}C_{10}^{7}$

C. ${{a}_{k}}={{a}_{7}}=\frac{{{2}^{7}}}{{{3}^{10}}}C_{10}^{7}$

D. ${{a}_{k}}={{a}_{8}}=\frac{{{2}^{7}}}{{{3}^{10}}}C_{10}^{7}$

Giải:

Ta có: ${{\left( \frac{1}{3}+\frac{2}{3}x \right)}^{10}}=\frac{1}{{{3}^{10}}}{{\left( 1+2x \right)}^{10}}=\frac{1}{{{3}^{10}}}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{10}^{k}{{\left( 2x \right)}^{k}}\Rightarrow {{a}_{k}}=\frac{1}{{{3}^{10}}}C_{10}^{k}{{2}^{k}}}$

Vậy max ${{a}_{k}}={{a}_{7}}=\frac{{{2}^{7}}}{{{3}^{10}}}C_{10}^{7}$

Chọn C

Dạng 2: Tính tổng vô hạn các tổ hợp chập k của n phần tử

Câu 1: Tính $A=C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+.....+C_{n}^{n}$

A. $A=-1\,$ B. $A={{2}^{n}}+1\,$ C. $A={{2}^{n}}$ D. $A={{2}^{n}}-1\,$

Giải:

Chọn D

Câu 2: Tính B = ${{2}^{n}}C_{n}^{0}-{{2}^{n-1}}C_{n}^{1}+{{2}^{n-2}}C_{n}^{2}+....+{{(-1)}^{k}}{{.2}^{n-k}}C_{n}^{k}+...+{{(-1)}^{n}}C_{n}^{n}$

A. $B=0$ B. $B={{2}^{n}}$ C. $B=1$ D. $B=-1$

Giải:

Chọn C

Câu 3: Tính C = $C_{10}^{6}+C_{10}^{7}+C_{10}^{8}+C_{10}^{9}+C_{10}^{10}$

A. $C=-1$ B. $C=724$ C. $C=386$ D. $C=1$

Giải:

Ta có $C_{10}^{k}=C_{10}^{10-k}=>C=C_{10}^{0}+C_{10}^{1}+C_{10}^{2}+C_{10}^{3}+C_{10}^{4}$

Chọn C

Dạng 3: Phương trình, bất phương trình chứa công thức tổ hợp

Câu 1: Giải bất phương trình: $\frac{1}{2}A_{2x}^{2}-A_{x}^{2}\le \frac{6}{x}C_{x}^{3}+10$

A. $S=\left[ 3;5 \right]$ B. $S=\left[ 3;4 \right]$ C. $S=\left\{ 3,4,5 \right\}$ D. $S=\left\{ 3,4 \right\}$

Giải:

Điều kiện:$x$ là số nguyên dương và $x\ge 3$

Ta có: Bất phương trình đã cho tương đương với:

Vì x là nghiệm nguyên dương và $x\ge 3$ nên $x\in \left\{ 3;4 \right\}$

Chọn D

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Hệ số của x⁷ trong khai triển (2 - 3x)¹⁵ là:

A. $C_{15}^{7}{{.2}^{7}}{{.3}^{7}}$ B. $C_{15}^{8}$ C. $C_{15}^{8}{{.2}^{8}}$ D. $-C_{15}^{8}{{.2}^{8}}{{.3}^{7}}$

Câu 2: Tổng \[C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+.....+C_{2n}^{2n}\] bằng:

A. ${{2}^{n-2}}$ B. ${{2}^{n-1}}$ C. ${{2}^{2n-2}}$ D.${{2}^{2n-1}}$

Câu 3: Cho khai triển \[{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}}+3 \right)}^{n}}\]. Tìm n biết tỉ số giữa số hạng thứ tư và thứ ba bằng \[3\sqrt{2}\]

A. 8 B. 10 C. 6 D. 5

Câu 4:

Tổng số ${{(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}})}^{8}}$ có giá trị bằng:

A. 0 nếu n chẵn B. 0 nếu n lẻ

C. 0 nếu n hữu hạn D. 0 trong mọi trường hợp

Câu 5: Tổng T = $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n}$ bằng:

A. T = 2ⁿ B. T = 4ⁿ C. T = 2ⁿ + 1 D. T = 2ⁿ - 1

Câu 6: Nghiệm của phương trình $A_{x}^{10}+A_{x}^{9}=9A_{x}^{8}$ là

A. x = 5 B. x = 11 C. x = 11 và x = 5 D. x = 10 và x = 2

Câu 7: Tổng tất cả các hệ số của khai triển (x + y)²⁰ bằng bao nhiêu

A. 77520 B. 1860480 C. A = 6ⁿ D. 81920

Câu 8: Ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển của (1 + 2x)¹⁰ là: