Phép tịnh tiến

PHÉP TỊNH TIẾN

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa:

Trong mặt phẳng cho vecto $\overrightarrow{v}$. Phép biến hình biến điểm M thành điểm ${{M}^{'}}$ sao cho $\overrightarrow{M{{M}^{'}}}=\overrightarrow{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{v}$.

Kí hiệu: ${{T}_{\overrightarrow{v}}}$ ($\overrightarrow{v}$ là vecto tịnh tiến).

${{T}_{\overrightarrow{v}}}(M)={{M}^{'}}\Leftrightarrow \overrightarrow{M{{M}^{'}}}=\overrightarrow{v}$

Chú ý: phép tịnh tiến theo vecto $\overrightarrow{0}$ gọi là phép đồng nhất ${{T}_{\overrightarrow{v}}}(M)={{M}^{'}}\Leftrightarrow M\equiv {{M}^{'}}$

II. Tính chất:

Tính chất 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N thành hai điểm ${{M}^{'}}$ và ${{N}^{'}}$ thì $\overrightarrow{{{M}^{'}}{{N}^{'}}}=\overrightarrow{MN}$ và từ đó suy ra ${{M}^{'}}{{N}^{'}}=MN$

Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến:

* Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

* Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

* Tam giác thành tam giác bằng nó.

* Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

III. Biểu thức tọa độ:

Trong mặt phẳng tọa độ \[\text{O}xy\] cho vectơ $\overrightarrow{v}=(a,b),M(x,y)$. Khi đó phép tịnh tiến théo vecto $\overrightarrow{v}:{{T}_{\overrightarrow{v}}}(M)={{M}^{'}}(x;y)$ có biểu thức tọa độ:

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Các bài toán khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép tịnh tiến

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép tịnh tiến
Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép tịnh tiến
Tìm quỹ tích điểm thông qua phép tịnh tiến
Ứng dụng phép tịnh tiến để giải các bài toán hình học khác

Câu 1: Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ cắt nhau. Có bao nhiêu phéo tịnh tiến biến ${{d}_{1}}$ thành ${{d}_{2}}$

A. Không có B. Hai C. Một D. Vô số

Giải:

Do phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên không tồn tại phép tịnh tiến nào biến ${{d}_{1}}$ thành ${{d}_{2}}$

Chọn B

Câu 2: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến vectơ $\overrightarrow{AB}$ thành vectơ $\overrightarrow{CD}$ với $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$?

A. Một B. Hai C. Ba D. Bốn

Giải:

Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ mà chỉ có một vecto biến $\overrightarrow{AB}$ thành chính nó là vectơ $\overrightarrow{0}$

Chọn A

Câu 3: Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow {{T}_{\overrightarrow{-v}}}\left( M' \right)=M$

B. \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M' \right)=M\]

C. ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow {{T}_{\overrightarrow{-v}}}\left( M \right)=M'$

D. ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow {{T}_{\overrightarrow{-v}}}\left( M' \right)=M'$

Giải:

Ta có:

Chọn A

Câu 4: Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính R nằm về một phía của đường thẳng AB. Điểm C di chuyển trên (C) dựng hình bình hành ABCD. Tìm quỹ tích điểm D?

A. Đường tròn (C’) có tâm O’ bán kính R là ảnh của (C) qua ${{T}_{\overrightarrow{AB}}}$

B. Đường tròn (C’) có tâm O’ bán kính R là ảnh của (C) qua ${{T}_{\overrightarrow{CD}}}$

C. Đường tròn (C’) có tâm O’ bán kính R là ảnh của (C) qua ${{T}_{\overrightarrow{BA}}}$

D. Đường tròn (C’) có tâm O’ bán kính R là ảnh của (C) qua ${{T}_{\overrightarrow{AC}}}$

Giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$

D là ảnh của C qua ${{T}_{\overrightarrow{BA}}}$ mà C chạy trên (C) tâm O, bán kính R nên D chạy trên đường tròn (C’) có tâm O’ bán kính R là ảnh của (C) qua ${{T}_{\overrightarrow{BA}}}$

Chọn C

Dạng 2: Xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép tịnh tiến bằng phương pháp tọa độ

Câu 1: Tìm m để $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2my-1=0$ là ảnh của đường tròn $\left( C' \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=9$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 3;5 \right)$.

A. $m=-2$ B. $m=2$ C. $m=3$ D. $m=-3$

Giải:

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 2;m \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{m}^{2}}+5}$.

Đường tròn $\left( C' \right)$ có bán kính tâm $I'\left( -1;-3 \right)$, bán kính $R'=3$. Ta có

Chọn B

Câu 2: Cho parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}+mx+1$. Tìm m sao cho $\left( P \right)$ là ảnh của $\left( P' \right):y=-{{x}^{2}}-2x+1$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 0,1 \right)$.

A. $m=1$ B. $m=-1$ C. $m=2$ D. $m=\varnothing $

Giải:

Giả sử $M\left( x;y \right)\in \left( P \right)$ là ảnh của $M\left( x';y' \right)\in \left( P' \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 0;1 \right)$

Ta có

Chọn D

Câu 3: Ảnh $d'$ của đường thẳng $d:2x-3y+1=0$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( 3;-2 \right)$ là:

A. $d':2x-y+1=0$ B. $d':2x-3y-1=0$

C. $d':3x+2y+1=0$ D. $d':2x+3y-11=0$

Giải:

Giả sử $M\left( x';y' \right)\in d'$ là ảnh của điểm

Suy ra $2\left( x'-3 \right)-3\left( y'+2 \right)+1=0\Leftrightarrow 2x'-3y'-11$

Chọn D

Câu 4: Cho hai đồ thị của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+1$ (C) và $g\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+15x-2$ $\left( C' \right)$.Tìm vectơ $\overrightarrow{v}=\left( a;b \right)$ sao cho khi tịnh tiến đồ thị $\left( C \right)$ theo vectơ $\overrightarrow{v}$ ta được đồ thị $\left( C' \right)$.

A. $\overrightarrow{v}=\left( 2;-9 \right)$ B. $\overrightarrow{v}=\left( 2;11 \right)$ C. $\overrightarrow{v}=\left( -3;2 \right)$ D. $\overrightarrow{v}=\left( -9;2 \right)$

Giải:

Cách 1:

Ta có

Cách 2:

Ta có

Chọn B

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\overrightarrow{v}=\left( -2;3 \right)$ và $M\left( 2;1 \right)$. Ảnh của M qua phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{v}}}$ có tọa độ:

A. $\left( 4;-2 \right)$ B. $\left( 0;4 \right)$ C. $\left( -4;2 \right)$ D. $\left( 0;2 \right)$

Câu 2: Cho $\overrightarrow{v}=\left( 1;1 \right)$, $A\left( 0;-2 \right)$ và $B\left( 3;0 \right)$. Nếu ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( A \right)=A'$ và ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( B \right)=B'$ thì A’B’ có độ dài là:

A. $\sqrt{10}$ B. $\sqrt{11}$ C. $\sqrt{12}$ D. $\sqrt{13}$

Câu 3: Trong mặt phẳng cho vectơ $\overrightarrow{v}$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm $M'$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ thỏa mãn

A. $\overrightarrow{MM'}=-\overrightarrow{v}$ B. $\overrightarrow{M'M}=\overrightarrow{v}$ C. $\overrightarrow{MM'}=k\overrightarrow{v}$ D. $\overrightarrow{MM'}=-\overrightarrow{v}$

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-2y-3=0$

A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+7x-2y+9=0$ B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5x-2y-3=0$

C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-7x-2y+9=0$ D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5x-2y+3=0$

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $A\left( 3;6 \right),B\left( -1;5 \right),C\left( 0;2 \right)$. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ảnh của G qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AB}$ là

A. $\left( \frac{26}{3};-\frac{10}{3} \right)$ B. $\left( \frac{10}{3};-\frac{26}{3} \right)$ C. $\left( -\frac{10}{3};\frac{10}{3} \right)$ D. \[\left( \frac{26}{3};-\frac{26}{3} \right)\]

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn $\left( C \right)$ và $\left( C' \right)$ có phương trình lần lượt là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-11=0$ và ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-8y+9=0$. Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ biến đường tròn $\left( C' \right)$ thành đường tròn $\left( C \right)$ khi đó tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}$ là:

A. $\left( -4;6 \right)$ B. $\left( 4;-6 \right)$ C. $\left( 4;6 \right)$ D. Đáp án khác

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến ${{T}_{\overrightarrow{v}}}$ với $\overrightarrow{v}=\left( 2;1 \right)$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=25$. Tìm ảnh của đường tròn $\left( C \right)$?

A. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25$ B. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=25$

C. ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=25$ D. ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25$

Câu 8: Tạo ảnh của đường tròn $\left( C' \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=25$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( -3;2 \right)$ là đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình

A. ${{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=5$ B. ${{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=25$

C. ${{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=25$ D. ${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=25$

Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy và vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;-2 \right)$. Ảnh của đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=4$ qua phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{u}$ là:

A. $\left( C' \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=4$ B. $\left( C' \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}=4$

C. $\left( C' \right):{{x}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}=4$ D. $\left( C' \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4$

Câu 10: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow {{T}_{\overrightarrow{-v}}}\left( M' \right)=M$ B. \[{{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow {{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M' \right)=M\]

C. ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow {{T}_{\overrightarrow{-v}}}\left( M \right)=M'$ D. ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow {{T}_{\overrightarrow{-v}}}\left( M' \right)=M'$

Đáp án bài tập tự luyện