Phép vị tự

PHÉP VỊ TỰ

A. Lý thuyết

I. Định nghĩa

Cho điểm O cố định và điểm k không đổi, $k\ne 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm ${{M}^{'}}$ sao cho $\overrightarrow{O{{M}^{'}}}=k\overrightarrow{OM}$ được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.

Kí hiệu: ${{V}_{\left( O,k \right)}}$ (O là tâm vị tự, k là tỉ số vị tự

${{V}_{\left( O,k \right)}}\left( M \right)=M'\Leftrightarrow \overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}$

Nhận xét:

- O, M và M’ luôn thẳng hàng.

- Khi \[k>0\] \[\Leftrightarrow \] \[\overrightarrow{OM}\] và \[\overrightarrow{OM'}\] cùng hướng.

- Khi \[k<0\] \[\Leftrightarrow \] \[\overrightarrow{OM}\] và \[\overrightarrow{OM'}\] ngược hướng.

- Khi \[k=1\]: \[{{V}_{\left( O,k \right)}}\] là phép đồng nhất.

- Khi \[k=-1\]: \[{{V}_{\left( O,k \right)}}\] là phép đối xứng qua tâm vị tự.

II. Tính chất

Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành ${{M}^{'}},{{N}^{'}}$ thì $\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}$ và $M'N'=\left| k \right|MN$

Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng a thành đoạn thẳng có độ dài bằng $\left| k \right|a$

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là $\left| k \right|$, biến góc thành góc bằng nó.

d) Biến đường trong bán kình R thành đường tròn bán kính $\left| k \right|R$

III. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép vị tự ${{V}_{\left( I,k \right)}};I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$

IV. Tâm vị tự của hai đường tròn

Định lý: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự như thế được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn

Cho hai đường tròn $\left( I,R \right)$ và $\left( {{I}^{'}},{{R}^{'}} \right)$các trường hợp:

Trường hợp 1: I trùng với I’

- Tâm vị tự: Chính là tâm I của hai đường tròn.

- Tỷ số vị tự: \[\left| k \right|=\frac{\left| \overrightarrow{IM'} \right|}{\left| \overrightarrow{IM} \right|}=\frac{R'}{R}\Rightarrow k=\pm \frac{R'}{R}\]

Trường hợp 2: I khác I’ và \[R\ne R'\]

- Tâm vị tự: Tâm vị tự trong là O, tâm vị tự trong là O₁ trên hình vẽ.

- Tỷ số vị tự:

+ Tâm O: \[\left| k \right|=\frac{\left| \overrightarrow{OM'} \right|}{\left| \overrightarrow{OM} \right|}=\frac{\left| \overrightarrow{I'M'} \right|}{\left| \overrightarrow{IM} \right|}=\frac{R'}{R}\Rightarrow k=\frac{R'}{R}\]

(do \[\overrightarrow{OM}\] và \[\overrightarrow{OM'}\] cùng hướng)

+ Tâm O₁: \[\left| {{k}_{1}} \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{O}_{1}}M''} \right|}{\left| \overrightarrow{{{O}_{1}}M} \right|}=\frac{\left| \overrightarrow{I'M''} \right|}{\left| \overrightarrow{IM} \right|}=\frac{R'}{R}\Rightarrow {{k}_{1}}=-\frac{R'}{R}\]

(do \[\overrightarrow{{{O}_{1}}M}\] và \[\overrightarrow{{{O}_{1}}M''}\] ngược hướng)

Trường hợp 3: I khác I’ và \[R=R'\]

- Tâm vị tự: Chính à O₁trên hình vẽ.

- Tỷ số vị tự:

\[\left| k \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{O}_{1}}M''} \right|}{\left| \overrightarrow{{{O}_{1}}M} \right|}=\frac{\left| \overrightarrow{I'M''} \right|}{\left| \overrightarrow{IM} \right|}=\frac{R}{R}=1\Rightarrow k=-1\]

(do \[\overrightarrow{{{O}_{1}}M}\] và \[\overrightarrow{{{O}_{1}}M''}\] ngược hướng

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Khai thác định nghĩa, tính chất và ứng dụng của phép vị tự

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép vị yuwj
Xác định ảnh của một điểm , một hình qua phéo vị tự
Tìm quỹ tích điểm thông qua phép vị tự
Các yếu tố lien quan phép vị tự là đường thẳng, tỉ số không đổi,… từ đó ứng dụng phép vị tự để giải các bài toán hình học khác.

Câu 1: Cho điểm O và $k\ne 0$. Gọi ${{M}^{'}}$ là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số $k$. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó

B. $\overrightarrow{O{{M}^{'}}}=k\overrightarrow{OM}$

C. Khi $k=1$ phép vị tự là phép đối xứng tâm

D. ${{M}^{'}}={{V}_{(O,k)}}\Leftrightarrow M={{V}_{(O,\frac{1}{K})}}\left( {{M}^{'}} \right)$

Giải:

Khi $k=1$: phép vị tự ${{V}_{\left( O,1 \right)}}\left( M \right)={{M}^{'}}\Leftrightarrow M\equiv {{M}^{'}}$

Chọn C

Câu 2: Cho $\Delta $ABC có trọng tâm G. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Phép vị tự nào sau đây biến $\Delta $ABC thành $\Delta $MNP?

A. ${{V}_{\left( A,-\frac{1}{2} \right)}}$ B. ${{V}_{\left( M,\frac{1}{2} \right)}}$ C. ${{V}_{\left( G,-2 \right)}}$ D.${{V}_{\left( G,-\frac{1}{2} \right)}}$

Giải:

Ta có $\overrightarrow{GM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GC},\overrightarrow{GP}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB},\overrightarrow{GN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}\Rightarrow {{V}_{\left( G,-\frac{1}{2} \right)}}\left( \vartriangle ABC \right)=\vartriangle NPM$

Chọn D

Câu 3: Cho $\Delta $ABC có cạnh 3, 5, 7. Phép đồng dạng tỉ số $k=2$ biến $\vartriangle ABC$ thành $\vartriangle {{A}^{'}}{{B}^{'}}{{C}^{'}}$ có diện tích là

A. $\frac{15\sqrt{3}}{2}$ B. $15\sqrt{3}$ C. $\frac{15\sqrt{3}}{4}$ D.$\frac{15\sqrt{3}}{8}$

Giải:

Ta có: ${{S}_{\vartriangle ABC}}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$

Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

$\Rightarrow \frac{{{S}_{{{A}^{'}}{{B}^{'}}{{C}^{'}}}}}{{{S}_{ABC}}}=4\Rightarrow {{S}_{{{A}^{'}}{{B}^{'}}{{C}^{'}}}}=15\sqrt{3}$

Chọn B

Dạng 2: Tìm ảnh của một điểm hoặc hình qua phép vị tự bằng phương pháp tọạ độ

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy hai điểm \[A\left( 4;5 \right)\] và \[I\left( 3;-2 \right).\] Tìm ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số $k=3$

A. ${{A}^{'}}=\left( 6;19 \right)$ B. ${{A}^{'}}=\left( -6;-19 \right)$ C. ${{A}^{'}}=\left( 6;-19 \right)$ D.${{A}^{'}}=\left( -6;19 \right)$

Giải:

Gọi \[A\left( x;y \right)\] là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số \[k=3\] .

Ta có

Chọn A

Câu 2: Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x-5y+3=0 qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-3.

A. $2x+5y+9=0$

B. $-2x-5y+9=0$

C. $2x+5y+9=0$

D.$-2x+5y+9=0$

Giải:

Gọi \[M\left( x;y \right)\] là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng \[d:\text{ }2x5y+3=0\] .
Gọi \[M\left( x;y \right)\] là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỉ số \[k=3\] .
Ta có

Do điểm $M\left( \text{}\frac{\text{x }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{3}};\text{-}\frac{\text{y }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{3}} \right)\in d:2x-5y+3=0$

$\Leftrightarrow 2\left( -\frac{x'}{3} \right)-5\left( -\frac{y'}{3} \right)+3=0\Leftrightarrow -2x'+5y'+9=0\Leftrightarrow M'\in d':-2x+5y+9=0.$

- Vậy: Phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số \[k=-3\] là: $-2x+5y+9=0$

Chọn D

Câu 3: Tìm ảnh của đường tròn (C): ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$ qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=2$

A. $\left( C' \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4$

B. $\left( C' \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=2$

C. $\left( C' \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=\sqrt{2}$

D.$\left( C' \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=16$

Giải:

Cách 1:

Gọi $M\left( x;y \right)\in \left( C \right):{{\left( x4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1.$
Gọi ${{M}^{'}}\left( {{x}^{'}};{{y}^{'}} \right)$ là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=2$

Ta có

Do $M\left( \frac{\text{x }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{2}};\frac{\text{y }\!\!'\!\!\text{ }}{\text{2}} \right)\in \left( C \right):{{\left( x4 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=1$.
Nên: ${{\left( \frac{x'}{2}4 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y'}{2}+1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( x'-8 \right)}^{2}}+{{\left( y'+2 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow M'\in \left( C' \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4$.
Vậy: $\left( C' \right):{{\left( x8 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4$ là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=2$

Cách 2:

Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( 4;1 \right)\] và bán kính \[R=1\] .
Gọi \[I\left( x;y \right)\] là ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=2$

Ta có:

Gọi \[\left( C \right)\] là ảnh của \[\left( C \right)\] qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. Khi đó \[\left( C \right)\]có bán kính \[R=2R=2\] .
Do đó \[\left( C \right)\]có phương trình là$:{{\left( x8 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4$.

Chọn A

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hai đường thẳng \[d\] và \[d\] song song với nhau. Tìm mệnh đề đúng:

A. Có duy nhất một phép vị tự biến \[d\] thành \[d\]

B. Có đúng hai phép vị tự biến \[d\] thành \[d\]

C. Có vô số phép vị tự biến \[d\] thành \[d\]

D. Không có phép vị tự nào biến \[d\] thành \[d\]

Câu 2: Tìm ảnh của đường tròn${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+2y-4=0$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2.$

A. ${{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=9$ B. ${{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=144$

C. ${{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=12$ D. ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=36$

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép vị tự $H(1;2)$ tỉ số $k=-3$ điểm $M\left( 4;7 \right)$ biến thành điểm ${{M}^{'}}$ có tọa độ

A. ${{M}^{'}}\left( -13;-8 \right)$ B. ${{M}^{'}}\left( 8;13 \right)$

C. ${{M}^{'}}\left( -8;-13 \right)$ D. ${{M}^{'}}\left( -8;13 \right)$

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình :\[3x\text{ }+\text{ }y\text{ }+\text{ }6\text{ }=\text{ }0\] . Qua phép vị tự tâm \[O\left( 0;0 \right)\] tỉ số \[k\text{ }=\text{ }2\] , đường thẳng d biến thành đường thẳng d’ có phương trình.

A. \[-3x\text{ }+\text{ }y\text{ }-\text{ }6\text{ }=\text{ }0\]

B. \[-3x\text{ }+\text{ }y\text{ }+\text{ }12\text{ }=\text{ }0\]

C. \[3x\text{ }-\text{ }y\text{ }+\text{ }12\text{ }=\text{ }0\]

D. \[3x\text{ }+\text{ }y\text{ }+\text{ }18\text{ }=\text{ }0\]

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường \[\left( C \right)\] có phương trình. \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}~-\text{ }4x\text{ }+\text{ }6y\text{ }-\text{ }3\text{ }=\text{ }0\] . Qua phép vị tự tâm \[H\left( 1;3 \right)\] tỉ số \[k\text{ }=\text{ }-2\] , đường tròn biến \[\left( C \right)\] thành đường tròn \[\left( C \right)\] có phương trình.

A. \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}~+\text{ }2x\text{ }-\text{ }30y\text{ }+\text{ }60\text{ }=\text{ }0\]

B. \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}~-\text{ }2x\text{ }-\text{ }30y\text{ }+\text{ }62\text{ }=\text{ }0\]

C. \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}~+\text{ }2x\text{ }-\text{ }30y\text{ }+\text{ }62\text{ }=\text{ }0\]

D. \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}~-\text{ }2x\text{ }-\text{ }30y\text{ }+\text{ }60\text{ }=\text{ }0\]

Câu 6: Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành d’?

A. Không có phép vị tự nào

B. Có một phép vị tự duy nhất

C. Có hai phép vị tự

D. Có vô số phép vị tự

Câu 7: Cho hai đường tròn \[\left( O;R \right)\] và \[\left( O;R \right)\] (O không trùng với O’). Có bao nhiều phép vị tự biến \[\left( O \right)\] thành \[\left( O \right)\]?

A. Không có phép vị tự nào

B. Có một phép vị tự duy nhất

C. Có hai phép vị tự

D. Có vô số phép vị tự

Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là sai? Về phép vị tự tỉ số $k$.

A.Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

B.Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

C.Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

D.Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Câu 9: Trong hệ trục tọa độ \[Oxy\] cho đường tròn \[\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4\]. Phép vị tự tâm $I\left( 1;-1 \right)$ tỉ số \[k=4\] biến \[\left( C \right)\] thành:

A.\[{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-11 \right)}^{2}}=8\] B.\[{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-11 \right)}^{2}}=64\]

C.\[{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=16\] D. \[{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y+11 \right)}^{2}}=64\]

Câu 10: Cho tam giác \[ABC\] có trực tâm \[H\], trọng tâm \[G\] và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Phép vị tự tâm \[G\] biến \[H\] thành $O$ có tỉ số là:

A. $2$ B. $\frac{1}{2}$ C. $-\frac{1}{2}$ D. $-\frac{2}{3}$

Đáp án bài tập tự luyện